Оператор Тепліца

Немає перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проекту.

У теорії операторів оператор Тепліца — це стиснення^[en] оператора множення^[en] на колі до простору Гарді.

Деталі

Нехай $S^{1}$ — комплексне одиничне коло зі стандартною мірою Лебега, а $L^{2}(S^{1})$ — гільбертів простір квадратично інтегрованих функцій^[en]. Обмежена вимірна функція $g$ на $S^{1}$ визначає оператор множення^[en] $M_{g}$ на $L^{2}(S^{1})$ . Нехай $P$ буде проекцією з $L^{2}(S^{1})$ на простір Гарді $H^{2}$ . Оператор Тепліца з символом $g$ визначаємо як

T_{g}=PM_{g}\vert _{H^{2}},

де « | » означає обмеження.

Обмежений оператор на $H^{2}$ є тепліцевим тоді й лише тоді, коли у його матричному представленні^[en] в базисі $\{z^{n},z\in \mathbb {C} ,n\geq 0\}$ на діагоналях знаходяться сталі.

Теореми

Теорема: якщо $g$ є неперервною, то $T_{g}-\lambda$ є оператором Фредгольма тоді й лише тоді, коли $\lambda$ не входить до множини $g(S^{1})$ . Якщо це оператор Фредгольма, то його індекс є порядком замкнутої кривої, яка простежує $g$ відносно початку координат, взятим з протилежним знаком.

Для доведення див. Дуглас^[en] (1972, стор. 185)^[1]. Він приписує цю теорему Марку Крейну, Гарольду Відому^[en] та Аллену Девінацу. Це можна розглядати як важливий окремий випадок теореми про індекс Атії–Зінгера.

Теорема Екслера^[en]–Чанга^[en]–Сарасона^[en]: оператор $T_{f}T_{g}-T_{fg}$ компактний тоді й лише тоді, коли $H^{\infty }[{\bar {f}}]\cap H^{\infty }[g]\subseteq H^{\infty }+C^{0}(S^{1})$ .

Тут $H^{\infty }$ позначає замкнуту підалгебру алгебри $L^{\infty }(S^{1})$ аналітичних функцій (функцій із нульовими від'ємними коефіцієнтами Фур'є), $H^{\infty }[f]$ — замкнута підалгебра алгебри $L^{\infty }(S^{1})$ , породжена $f$ і $H^{\infty }$ , а $C^{0}(S^{1})$ — простір (як алгебраїчна множина) неперервних функцій на колі^[2].

Див. також

Матриця Тепліца — матриця зі зсувними рядками

Примітки

↑ Douglas, Ronald (1972), Banach Algebra techniques in Operator theory, Academic Press.
↑ S.Axler, S-Y. Chang, D. Sarason (1978), «Products of Toeplitz operators», Integral Equations and Operator Theory, 1 (3): 285—309, doi:10.1007/BF01682841, S2CID 120610368

Література

Böttcher, Albrecht; Grudsky, Sergei M. (2000), Toeplitz Matrices, Asymptotic Linear Algebra, and Functional Analysis, Birkhäuser, ISBN 978-3-0348-8395-5.
Böttcher, A.; Silbermann, B. (2006), Analysis of Toeplitz Operators, Springer Monographs in Mathematics (вид. 2nd), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-32434-8.
Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1985), Hardy Classes and Operator Theory, Oxford University Press. Reprinted by Dover Publications, 1997, ISBN 978-0-486-69536-5.

[1] Douglas, Ronald (1972), Banach Algebra techniques in Operator theory, Academic Press.

[2] S.Axler, S-Y. Chang, D. Sarason (1978), «Products of Toeplitz operators», Integral Equations and Operator Theory, 1 (3): 285—309, doi:10.1007/BF01682841, S2CID 120610368

[1]

[2]