Відкрити головне меню

Дода́тно ви́значена ма́триця — окремий випадок ермітової матриці, є аналогом додатних чисел, якщо розглядати ермітові матриці як узагальнення дійсних чисел.

Поняття додатно визначеної матриці тісно пов'язане з поняттям дода́тно ви́значеної квадратичної форми.

ВизначенняРедагувати

Ермітова матриця   є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє одну з наступних еквівалентних умов:

  1.     (для ермітових матриць   — завжди дійсне число).
  2. Всі власні значення   є додатними числами.
  3. Задовольняє критерій Сильвестра.
  4. Сесквілінійна форма (білінійна форма для випадку дійсних чисел)
 
задовольняє всім вимогам ермітового скалярного добутку (простого скалярного добутку для випадку дійсних чисел).

Невід'ємно визначена і від'ємно визначена матриціРедагувати

  • Ермітова матриця   називається невід'є́мно ви́значеною (або іноді додатно напіввизначеною), якщо
 
Всі власні значення невід'ємно визначеної матриці — невід'ємні числа.
  • Ермітова матриця   називається від'є́мно ви́значеною, якщо
 
Всі власні значення від'ємно визначеної матриці — від'ємні числа.

НевизначенаРедагувати

Ермітова матриця, яка не є ані додатно визначеною, ані від'ємновизначеною, ані додатно напіввизначеною, ані від'ємно напіввизначеною, називається неви́значеною. Невизначені матриці також характеризуються тим, що мають як додатні, так і від'ємні власні значення одночасно.

ВластивостіРедагувати

  • Всі додатньо визначені матриці мають повний ранг, їх визначник не рівний нулю і для них існує обернена матриця.
  • Для будь-якої матриці  , матриці   — будуть невід'ємно визначені та матимуть однакові власні значення.
  • Якщо   — додатньо визначені матриці і   — додатне число, тоді матриці
  — також є додатньо визначеними матрицями.
І якщо  переставними), тоді   — теж є додатньо визначеною.
  • Якщо   — додатньо визначена матриця, тоді і тільки тоді існує єдина матриця B > 0, що B²=M.
 
Хоча можуть існувати не додатньо визначені матриці B, що виконуватиметься B²=M.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати