Майже комплексна структура

Майже комплексна структура — поле комплексних структур на дотичних просторах гладкого многовида. Многовиди, на яких визначена така структура, називаються майже комплексними многовидами. Прикладами таких многовидів є комплексні многовиди, проте натомість існують майже комплексні многовиди, які не є комплексними многовидами. Майже комплексні многовиди є важливими у симплектичній геометрії.

Означення

Майже комплексною структурою на многовиді $M$ називається відображення $J\colon TM\to TM$ дотичних просторів на многовиді $M$ , для якого обмеження $J_{p}:=J|_{T_{p}M}$ на дотичний простір в точці $p\in M$ є лінійним відображенням, що задовольняє умові: $J_{p}\circ J_{p}=-\mathrm {id}$ і також $J$ є гладким тензорним полем порядку (1, 1).

Властивості

Наявність на многовиді майже комплексної структури накладає деякі обмеження на його топологію — розмірність простору має бути парним числом, простір має бути орієнтовним, а в компактному випадку всі його непарні класи Штіфеля — Вітні повинні бути рівні нулю.
Майже комплексна структура $J$ визначає розклад комплексифікації $T^{\mathbb {C} }M$ дотичного розшарування в пряму суму комплексно спряжених один одному підрозшарувань $E^{+}$ і $E^{-}$ , що складаються з власних векторів відображення $J$ (продовженого лінійно на $T^{\mathbb {C} }M$ ) з власними значеннями $i$ і $-i$ відповідно. Навпаки, розклад $T^{\mathbb {C} }M$ в пряму суму двох взаємно спряжених векторних підрозшарувань $S,{\bar {S}}$ визначає майже комплексну структуру на $M$ для якої $V^{+}=S$ .

Інтегровні майже комплексні структури

Будь-який комплексний многовид також є майже комплексним многовидом. В локальних голоморфних координатах $z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }$ можна ввести відображення

J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}

або в інших позначеннях

J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.

Дані відображення є майже комплексною структурою, яка називається індукованою відповідною комплексною структурою многовида.

Майже комплексна структура $J$ називається інтегровною, якщо вона індукується деякою комплексною структурою на $M$ , тобто якщо існує атлас карт многовида $M$ , відображення переходу для яких є голоморфними і на кожній з яких матриці лінійних відображень $J_{p}$ має сталі координати $J_{jk}$ . Можна вважати, що лінійні перетворення мають канонічний вид поданий вище.

Необхідною і достатньою умовою інтегрованості майже комплексної структури є інволютивність підрозшарування $V^{+}$ , тобто замкнутість простору його перетинів щодо дужок Лі (комплексних) векторних полів. Умова інволютивності підрозшарування $V^{+}$ є рівносильною рівності нулю асоційованої з $J$ векторнозначної 2-форми $N_{J}(X,Y)$ , що задається формулою

N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY],\,

де X, Y — векторні поля. Ця форма називається тензором кручень, або тензором Нейєнхейса майже комплексної структури. Твердження про рівносильність інтегровності майже комплексної структури і рівності нулю асоційованого з нею тензора Нейєнхейса називається теоремою Ньюландера — Ніренберга.

Автоморфізми майже комплексних структур

З точки зору теорії G-структур майже комплексна структура є $GL(m,\mathbb {C} )$ -структурою, де $m={\frac {\operatorname {dim} M}{2}}$ , а тензором Нейєнхейса $N_{J}(X,Y)$ — тензор, який визначається першою структурною функцією цієї структури. $GL(m,\mathbb {C} )$ -структура є структурою еліптичного типу, і тому алгебра Лі інфінітезімальних автоморфізмів майже комплексної структури задовольняє еліптичній системі диференціальних рівнянь 2-го порядку. Зокрема, алгебра Лі інфінітезімальних автоморфізмів майже комплексної структури на компактному многовиді є скінченновимірною, а група G всіх автоморфізмів компактного многовида з майже комплексною структурою є групою Лі. Для некомпактних многовидів це, взагалі кажучи, не так.

Якщо група автоморфізмів G є транзитивною на многовиді М, то майже комплексна структура $J$ однозначно визначається своїм значенням $J_{p}$ у фіксованій точці $p\in M$ , що є інваріантною щодо представлення ізотропії комплексною структурою в дотичному просторі $T_{p}M$ .

Приклади

Методи теорії груп Лі дозволяють побудувати широкий клас однорідних просторів, що володіють інваріантною майже комплексною структурою (Як інтегровною, так і неінтегровною) і при тих чи інших припущеннях класифікувати інваріантні майже комплексні структури. Наприклад, будь-яка факторгрупа G/H групи Лі G по підгрупі H, що складається з нерухомих точок автоморфізму непарного порядку групи Лі G, має інваріантну майже комплексну структуру. Прикладом є 6-вимірна сфера $S^{6}$ , що розглядається як однорідний простір $G_{2}/\mathrm {SU} (3)$ .

Натомість на $S^{6}$ немає жодної комплексної структури, тобто жодна майже комплексна структура там не є інтегровною.

Серед сфер майже комплексні структури мають тільки сфери розмірностей 2 і 6.

Див. також

Література

Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 213). Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95395-7.
Newlander, A.; Nirenberg, L. (1957), Complex analytic coordinates in almost complex manifolds, Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series, 65 (3): 391—404, doi:10.2307/1970051, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970051, MR 0088770
da Silva, A.C., Lectures on Symplectic Geometry^[недоступне посилання], Springer (2001). ISBN 3-540-42195-5.
Wells, R.O., Differential Analysis on Complex Manifolds, Springer-Verlag, New York (1980). ISBN 0-387-90419-0.