Досконале число
У теорії чисел досконале число — натуральне число, що дорівнює сумі його додатних дільників, не враховуючи самого числа. Наприклад, 6 має дільники 1, 2, 3 (не враховуючи його самого), , тому 6 — досконале число.
Сума дільників числа, не враховуючи самого числа, називається аліквотною сумою[en], тому досконале число — це число, що дорівнює його аліквотній сумі. Що рівносильно, що досконале число — число, яке є половиною суми всіх своїх додатних дільників, враховуючи себе. У символьному записі: , де — функція суми дільників числа . Наприклад, 28 — досконале, оскільки .
Це стародавнє означення, воно з'явилось ще в Началах Евкліда (VII.22), де такі числа називалися досконалими, ідеальними чи повними. Евклід також довів правило утворення (IX/36), за яким є парним досконалим числом тоді, коли , і — прості числа. Такі називаються простими числами Мерсенна[en]. Через два тисячоліття Ейлер довів, що всі парні досконалі числа мають таку форму[1]. Цей результат відомий як теорема Евкліда-Ейлера[en].
Невідомо, чи існують непарні досконалі числа і чи є нескінченною послідовність досконалих чисел. Декілька перших досконалих чисел — 6, 28, 496[en], 8128[en] (див. послідовність послідовність A000396 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.
Історія
ред.Приблизно в 300-му році до н. е. Евклід показав, що, якщо — просте число, то — досконале число. Перші 3 досконалі числа були єдиними, які знала давньогрецька математика і число 8128, яке знайшов Нікомах приблизно у 100-му році н. е.[2] Нікомах стверджував без доведення, що будь-яке досконале число має вигляд , де — просте число.[3][4] Здається, він не знав, що також має бути простим числом. Також він помилково вважав, що досконалі числа по черзі закінчуються на 6 і на 8 (перші п'ять досконалих чисел закінчуються на 6, 8, 6, 8, 6 відповідно, але шосте закінчується знову на 6). Філон Олександрійський у своїй книзі першого століття «Про створення світу» згадує досконалі числа, стверджуючи, що світ був створений за 6 днів, а Місяць здійснює повний оберт по орбіті за 28 днів, тому що 6 і 28 — досконалі. До Філона приєднались Оріген[5] і Дідим Сліпець, котрі зазначають, що є лише чотири досконалі числа, менші за 10000 (коментар до книги Буття 1.14-19).[6] Св. Августин на початку п'ятого віку н. е. зазначає досконалі числа у книзі «Місто Боже» (книга XI, глава 30), повторюючи висловлювання, що Бог створив світ за 6 днів, бо 6 — найменше досконале число. Єгипетський математик Ізмаїл ібн Фоллус (1194-1252) згадує наступні три досканалі числа (33,550,336; 8,589,869,056; 137,438,691,328) і ще декілька, які виявились хибними.[7] Перша згадка п'ятого досконалого числа європейцями — рукопис, написаний між 1456 і 1461 роками невідомим математиком.[8] У 1588 році італійський математик П'єтро Катальді знайшов шосте (8,589,869,056) і сьоме (137,438,691,328) досконалі числа, а також довів, що кожне досконале число, отримане з правила Евкліда, закінчується на 6 чи 8.[9][10][11]
Парні досконалі числа
ред.Див. також: Теорема Евкліда-Ейлера[en].
Евклід довів, що є досконалими, коли є простим (Начала, твердження IX.36).
Наприклад, перші чотири досконалі числа, отримані за допомогою цієї формули:
- при :
- при :
- при :
- при :
Прості числа вигляду , відомі як прості числа Мерсенна[en], названі на честь монаха сімнадцятого століття Марена Мерсенна, що вивчав теорію чисел і досконалі числа. Для того, щоб було простим, необхідно щоб і було простим. Але це не достатня умова; наприклад, не є простим[12]. Насправді, прості числа Мерсенна дуже рідкісні — з 2.610.944 простих чисел менших 43112609[en][13], число є простим лише для 47 з них.
Хоча Нікомах стверджував (без доведення), що всі досконалі числа мають вигляд , де — просте число (саме твердження було трохи в іншій формі), Ібн аль-Хайсам приблизно в 1000-му році н. е. припускав, що формула описує лише будь-яке парне досконале число[14]. Тільки в XVIII столітті Леонард Ейлер довів, що формула описує всі парні досконалі числа. Таким чином існує взаємно однозначна відповідність між парними досконалими числами і простими числами Мерсенна; кожне просте число Мерсенна породжує одне парне досконале число, і навпаки. Цей результат часто називають теоремою Евкліда-Ейлера[en].
Вичерпний пошук у рамках проекту GIMPS показав, що першим 47-ми парним досконалим числам вигляду відповідають[15]
- = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801 і 43112609 послідовність A000043 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.[16]
Також знайдено п'ять більших досконалих чисел, а саме при =57.885.161, 74.207.281, 77.232.917, 82.589.933 і 136.279.841, але в цих межах можуть бути й інші. Станом на жовтень 2024 року відомо 52 простих чисел Мерсенна[17] і, відповідно, 52 парних досконалих чисел (найбільше з яких — з 82.048.640 цифрами). Невідомо чи існує нескінченно багато досконалих чисел і простих чисел Мерсенна.
Крім того, що будь-яке парне досконале число має вигляд , воно ще є -им трикутним числом (і, як наслідок, є сумою цілих чисел від 1 до ), а також є -им шестикутним числом. Більш того, будь-яке парне досконале число (за винятком 6) є -им центрованим дев'ятикутним числом, а значить воно дорівнює сумі перших непарних кубів:
Парні досконалі числа (крім 6) мають вигляд
- ,
де кожне трикутне число , , після віднімання одиниці і ділення на дев'ять закінчується на 3 або 5; послідовність починається з , , , [18] Це можна переформулювати наступним чином: сумування цифр будь-якого парного досконалого числа (крім 6), а потім повтор таких дій з отриманими результатами до моменту, коли залишиться одна цифра (знаходження цифрового кореня), дасть в результаті одиницю. Наприклад, цифровий корінь числа 8128 дорівнює одиниці, бо , , . Це справедливо для усіх чисел вигляду , де — непарне число.
Завдяки своїй формі кожне парне досконале число записується у двійковій системі як одиниць, а за ними нулів. Наприклад,
Таким чином парні досконалі числа є згубними числами[en].
Кожне парне досконале число також є практичним числом.
Непарні досконалі числа
ред.Невідомо чи існує хоч якесь непарне досконале число, хоча деякі результати у цьому напрямі були отримані. У 1496 році Жак Лефевр стверджував, що правило Евкліда дає абсолютно всі досконалі числа[19], з чого слідує відсутність непарних досконалих чисел. Ейлер стверджував, що найважчим питанням є питання існування непарних досконалих чисел[20]. Нещодавно Карл Померанс[en] представив евристичний аргумент[en], який передбачає, що дійсно непарного досконалого числа не має існувати[21]. Усі досконалі числа також є гармонічними числами Оре[en], а також існує гіпотеза, що немає непарних гармонічних чисел Оре (крім одиниці).
Будь-яке непарне досконале число має задовольняти наступним умовам:
- [22]
- не ділиться на 105[23]
- конгурентне або 1 по модулю 12, або 117 по модулю 468, або 81 по модулю 324[24]
- має вигляд , де
- Найбільший простий дільник числа більший за [31] і менший за .[32]
- Наступний найбільший простий дільник більший за і менший за .[33][34]
- Третій найбільший простий дільник більший за 100.[35]
- має щонайменше 101 простий дільник, де щонайменше 10 різних.[36]
- Якщо не ділиться на 3, то має щонайменше 12 простих дільників.[37]
Також відомо декілька другорядних результатів, що стосуються показників числа .
- Не всі (mod 3).[38]
- Не всі (mod 5).[39]
- Якщо (mod 3) або (mod 5), найменший простий дільник числа буде знаходитись в межах від до .
- У загальному випадку, якщо всі мають простий дільник у скінченній множині , то найменший простий дільник числа має бути найменшим за ефективно обчислювальну константу, що залежить лише від .
- Якщо з одиницями і двійками, то .[40]
- ,[41] , .[42]
- Якщо , то
У 1888 році Сильвестр стверджував: «… довгі роздуми на цю тему переконали мене, що існування будь-якого такого (непарного досконалого) числа — це вихід із величезної павутини умов, що його оточують, і є просто чудом.»[46]
Багато властивостей, доведених відносно непарних досконалих чисел, також стосуються чисел Декарта[en], а тому Пейс Нільсен припустив, що достатнє вивчення таких чисел може привести до доведення відсутності непарних досконалих чисел.[47]
Незначні результати
ред.Усі парні досконалі числа мають дуже точну форму; непарні досконалі числа або не існують, або є дуже рідкісними. Є цілий ряд результатів щодо досконалих чисел, які насправді досить легко довести, але, втім, є вражаючими; деякі з них підходять під сильний закон малих чисел[en] Річарда Ґая:
- 28 — єдине парне досконале число вигляду [48]
- 28 — також єдине парне досконале число, яке є сумою кубів двох додатних чисел[49]
- Сума чисел, обернених до дільників досконалого числа, дорівнює двійці (щоб отримати це, необхідно скористатися означенням досконалого числа і поділити обидві частини рівності на ):
- Для 6 маємо: ;
- Для 28 маємо: , і так далі.
- Кількість дільників будь-якого досконалого числа (парного чи непарного) має бути парною, оскільки досконале число не може бути повним квадратом[50]
- З двох зазначених вище властивостей випливає, що кожне досконале число є гармонічним числом Оре[en].
- Парні досконалі числа не є трапецієвидними числами[en]; тобто їх не можна представити у вигляді різниці двох додатних непослідовних трикутних чисел. Існує лише три типи нетрапецієвидних чисел: парні досконалі числа, степені двійки і числа вигляду , які утворені як добуток простого числа Ферма та , що аналогічно побудові досконалих чисел з простих чисел Мерсенна.[51]
- Кількість досконалих чисел менших за менша за , де — додатна константа.[52] Насправді це (використовується позначення -малого).[53]
- Кожне парне досконале число закінчується на 6 чи 28 в десятковій системі і закінчується на 1 (за винятком числа 6) в системі за базою 9[54][55]. Тому цифровий корінь будь-якого парного досконалого числа (відмінного від 6) дорівнює 1.
- 6 — єдине досконале число, яке є безквадратичним.[56]
Пов'язані поняття
ред.Сума власних дільників дає різні інші види чисел. Числа, де сума їх дільників менша за саме число, називають недостатніми, а де більша — надлишковими. Ці терміни і саме поняття досконалих чисел прийшло до нас з грецької нумерології. Пари чисел, які є сумами власних дільників один одного, називаються дружними, а більші цикли таких чисел називаються компанійськими[en]. Натуральне число таке, що кожне менше за нього натуральне число є сумою його різних дільників, називається практичним.
За означенням, досконале число — нерухома точка обмеженої функції дільників[en] , а пов'язана з досконалими числами аліквотна послідовність[en] є постійною послідовністю. Всі досконалі числа також є -досконалими або числами Гранвіля[en].
Напівдосконале число — натуральне число, яке дорівнює сумі всіх або деяких власних дільників. Напівдосконале число, яке дорівнює сумі всіх власних дільників, є досконалим числом. Більшість надлишкових чисел також є напівдосконалими; надлишкові числа, що не є напівдосконалими, називаються дивними[en].
Див. також
ред.Примітки
ред.- ↑ Caldwell, Chris, «A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime»
- ↑ Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol.~I. Washington: Carnegie Institution of Washington. p.~4.
- ↑ «Perfect numbers». www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Retrieved 9 May 2018
- ↑ У «Вступі в арифметику» (глава 16) він стверджує, що є акуратний і безвідмовний метод, який описує кожне досконале число і не описує жодне інше, що здійснюється вказаним ним чином, який є еквівалентним знаходженню трикутних чисел за допомогою простих чисел Мерсенна
- ↑ Commentary on the Gospel of John 28.1.1-4, with further references in the Sources Chrétiennes edition: vol.~385, 58-61
- ↑ http://torreys.org/sblpapers2015/S22-05\_philonic\_arithmological\_exegesis.pdf[недоступне посилання]
- ↑ Roshdi Rashed, The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994), pp. 328—329.
- ↑ Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14908. See David Eugene Smith (1925). History of Mathematics: Volume II. New York: Dover. p. 21. ISBN 0-486-20430-8.
- ↑ Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. p. 10
- ↑ Pickover, C (2001). Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford: Oxford University Press. p. 360. ISBN 0-19-515799-0
- ↑ Peterson, I (2002). Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. Washington: Mathematical Association of America. p. 132. ISBN 88-8358-537-2
- ↑ Усі дільники числа конгруентні одиниці по модулю . Наприклад, . І 23, і 89 дають остачу 1 при діленні на 22. Більш того, якщо є простим числом Софі Жермен (якщо — теж просте і конгруентне 1 або 7 за модулем 8), то буде дільником числа , що справедливо для , (послідовність A002515 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)
- ↑ «Numbers of prime ». Wolfram Alpha. Retrieved 2018-10-28
- ↑ O'Connor, John J.;Robertson, Edmund F., «Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
- ↑ GIMPS Milestones Report. Retrieved 2018-02-27
- ↑ GIMPS Milestones Report [Архівовано 3 вересня 2016 у Wayback Machine.]. Retrieved 2018-02-27
- ↑ «GIMPS Home». Mersenne.org. Retrieved 2018-12-21
- ↑ Weisstein, Eric W. «Perfect Number». MathWorld
- ↑ Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. p. 6.
- ↑ Архівована копія (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 28 травня 2016. Процитовано 15 травня 2021.
{{cite web}}
: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання) - ↑ Oddperfect.org. Archived 2006-12-29 at the Wayback Machine
- ↑ а б Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2012). «Odd perfect numbers are greater than 101500» (PDF). Mathematics of Computation. 81 (279): 1869—1877. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005
- ↑ Kühnel, Ullrich (1950). ``Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen. Mathematische Zeitschrift (in German). 52: 202—211. doi:10.1007/BF02230691
- ↑ Roberts, T (2008). «On the Form of an Odd Perfect Number» (PDF). Australian Mathematical Gazette. 35 (4): 244.
- ↑ Grün, O (1952). «Über ungerade vollkommene Zahlen». Mathematische Zeitschrift. 55 (3): 353—354. doi:10.1007/BF01181133
- ↑ Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E (2014). «Improved upper bounds for odd multiperfect numbers». Bulletin of the Australian Mathematical Society. 89 (3): 353—359
- ↑ Nielsen, Pace P. (2003). «An upper bound for odd perfect numbers». Integers. 3: A14–A22. Retrieved 23 March 2021
- ↑ Zelinsky, Joshua (25 May 2018). «An improvement of an inequality of Ochem and Rao concerning odd perfect numbers». Integers. 18. arXiv:1706.07009. Bibcode:2017arXiv170607009Z. Retrieved 23 May 2018
- ↑ Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2014). «On the number of prime factors of an odd perfect number». Mathematics of Computation. 83 (289): 2435—2439. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02776-7
- ↑ Pomerance, Carl; Luca, Florian (2010). «On the radical of a perfect number». New York Journal of Mathematics. 16: 23–30. Retrieved 7 December 2018
- ↑ Goto, T; Ohno, Y (2008). «Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108»(PDF). Mathematics of Computation. 77 (263): 1859—1868. Bibcode:2008MaCom..77.1859G.doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9. Retrieved 30 March 2011
- ↑ Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter (2012). «On Prime Factors of Odd Perfect Numbers». International Journal of Number Theory. 8 (6): 1537—1540. doi:10.1142/S1793042112500935
- ↑ Zelinsky, Joshua (July 2019). «Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number». International Journal of Number Theory. 15 (6): 1183—1189. arXiv:1810.11734. doi:10.1142/S1793042119500659
- ↑ Iannucci, DE (1999). «The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand»(PDF). Mathematics of Computation. 68 (228): 1749—1760. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6. Retrieved 30 March 2011.
- ↑ Iannucci, DE (2000). «The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred»(PDF). Mathematics of Computation. 69 (230): 867—879. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. Retrieved 30 March 2011.
- ↑ Nielsen, Pace P. (2015). «Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds»(PDF). Mathematics of Computation. 84 (295): 2549—2567. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X. Retrieved 13 August 2015.
- ↑ Nielsen, Pace P. (2007). «Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors»(PDF). Mathematics of Computation. 76 (260): 2109—2126. arXiv: math/0602485. Bibcode:2007MaCom..76.2109N. doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. Retrieved 30 March 2011.
- ↑ McDaniel, Wayne L. (1970). «The non-existence of odd perfect numbers of a certain form». Archiv der Mathematik. 21 (1): 52–53. doi:10.1007/BF01220877. ISSN 1420-8938. MR 0258723
- ↑ Fletcher, S. Adam; Nielsen, Pace P.; Ochem, Pascal (2012). «Sieve methods for odd perfect numbers»(PDF). Mathematics of Computation. 81 (279): 1753?1776. doi:10.1090/S0025-5718-2011-02576-7. ISSN 0025-5718. MR 2904601
- ↑ Cohen, G. L. (1987). «On the largest component of an odd perfect number». Journal of the Australian Mathematical Society, Series A. 42 (2): 280—286. doi:10.1017/S1446788700028251. ISSN 1446-8107. MR 0869751
- ↑ Kanold, Hans-Joachim (1950). «Satze uber Kreisteilungspolynome und ihre Anwendungen auf einige zahlentheoretisehe Probleme. II». Journal für die reine und angewandte Mathematik. 188 (1): 129—146. doi:10.1515/crll.1950.188.129. ISSN 1435-5345. MR 0044579
- ↑ а б Cohen, G. L.; Williams, R. J. (1985). «Extensions of some results concerning odd perfect numbers» (PDF). Fibonacci Quarterly. 23 (1): 70–76. ISSN 0015-0517. MR 0786364
- ↑ Hagis, Peter Jr.; McDaniel, Wayne L. (1972). «A new result concerning the structure of odd perfect numbers». Proceedings of the American Mathematical Society. 32 (1): 13–15. doi:10.1090/S0002-9939-1972-0292740-5. ISSN 1088-6826. MR 0292740
- ↑ McDaniel, Wayne L.; Hagis, Peter Jr. (1975). «Some results concerning the non-existence of odd perfect numbers of the form »(PDF). Fibonacci Quarterly. 13 (1): 25–28. ISSN 0015-0517. MR 0354538
- ↑ Yamada, Tomohiro (2019). «A new upper bound for odd perfect numbers of a special form». Colloquium Mathematicum. 156 (1): 15–21. arXiv:1706.09341. doi:10.4064/cm7339-3-2018. ISSN 1730-6302
- ↑ The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester p. 590, tr. from «Sur les nombres dits de Hamilton», Compte Rendu de l'Association Française (Toulouse, 1887), pp. 164—168.
- ↑ Nadis, Steve (10 September 2020). «Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem». Quanta Magazine. Retrieved 10 September 2020.
- ↑ Makowski, A. (1962). «Remark on perfect numbers». Elem. Math. 17 (5): 109.
- ↑ Gallardo, Luis H. (2010). «On a remark of Makowski about perfect numbers». Elem. Math. 65: 121—126. doi:10.4171/EM/149
- ↑ Yan, Song Y. (2012), Computational Number Theory and Modern Cryptography, John Wiley, Sons, Section 2.3, Exercise 2(6), ISBN 9781118188613.
- ↑ Jones, Chris; Lord, Nick (1999). «Characterising non-trapezoidal numbers». The Mathematical Gazette. The Mathematical Association. 83 (497): 262—263. doi:10.2307/3619053. JSTOR 3619053
- ↑ Hornfeck, B (1955). «Zur Dichte der Menge der vollkommenen zahlen». Arch. Math. 6 (6): 442—443. doi:10.1007/BF01901120
- ↑ Kanold, HJ (1956). «Eine Bemerkung uber die Menge der vollkommenen zahlen». Math. Ann. 131 (4): 390—392. doi:10.1007/BF01350108
- ↑ H. Novarese. Note sur les nombres parfaits Texeira J. VIII (1886), 11–16.
- ↑ Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. p. 25.
- ↑ Redmond, Don (1996). Number Theory: An Introduction to Pure and Applied Mathematics. Chapman, Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. 201. CRC Press. Problem 7.4.11, p. 428. ISBN 9780824796969.
Посилання
ред.- David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers [Архівовано 28 грудня 2014 у Wayback Machine.]
- Perfect numbers — History and Theory [Архівовано 30 червня 2004 у Wayback Machine.]
- Weisstein, Eric W. Perfect Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
- Great Internet Mersenne Prime Search [Архівовано 14 серпня 2021 у Wayback Machine.] (GIMPS)
- Perfect Numbers [Архівовано 12 лютого 2015 у Wayback Machine.], math forum at Drexel.
- Grimes, James. 8128: Perfect Numbers. Numberphile. Архів оригіналу за 31 травня 2013. Процитовано 2 квітня 2013.
Література
ред.- Euclid, Elements, Book IX, Proposition 36. See D.E. Joyce's website [Архівовано 2 березня 2011 у Wayback Machine.] for a translation and discussion of this proposition and its proof.
- Kanold, H.-J. (1941). Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 183: 98—109.
- Steuerwald, R. Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl. S.-B. Bayer. Akad. Wiss. 1937: 69—72.
Додаткова література
ред.- Nankar, M.L.: "History of perfect numbers, " Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
- Riele, H.J.J. «Perfect Numbers and Aliquot Sequences» in H.W. Lenstra and R. Tijdeman (eds.): Computational Methods in Number Theory, Vol. 154, Amsterdam, 1982, pp. 141–157.
- Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorisation, Birkhauser, 1985.
- Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. с. 15–98. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.