Шестикутне число

Шестикутне число  — це фігурне число. -те шестикутне число — це кількість різних у шаблоні точок, що утворюють контур правильних шестикутників зі сторонами до точок, коли шестикутники перекриваються так, що вони мають одну спільну вершину.

-е шестикутне число визначається за допомогою формули

Першими шестикутними числами (послідовність A000384 в OEIS) є

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, ...

Кожне шестикутне число — це трикутне число, але лише кожне третє трикутне число (1-е, 3-е, 5-е, 7-е тощо) — це шестикутне число. Як і для трикутного числа, цифровий корінь в основі 10 шестикутного числа може бути лише 1, 3, 6 або 9. Набором цифрових коренів, що повторюється через кожні дев'ять членів, є ''1 6 6 1 9 3 1 3 9''.

Кожне парне досконале число є шестикутним і задається формулою

де число Мерсенна. Невідомі непарні досконалі числа, тому всі відомі досконалі числа є шестикутними.

Наприклад, 2-ге шестикутне число ; четверте — ; 16-е — , а 64-е — .

Найбільшим числом, яке не можна записати як суму не більше чотирьох шестикутних чисел, є 130. Адрієн-Марі Лежандр довів у 1830 році, що будь-яке натуральне число, що перевищує 1791, може представлене таким чином.

Шестикутні числа не слід плутати з центрованими шестикутними числами, які моделюють стандартну упаковку віденських сосисок. Щоб уникнути неоднозначності, шестикутні числа іноді називають "кутовими шестикутними числами".

Тест на шестикутність числаРедагувати

Можна ефективно перевірити, чи є натуральне число   шестикутним числом, за допомогою формули

 

Якщо   — натуральне число, то   -е шестикутне число. Якщо   не є натуральним числом, то   не є шестикутним.

Інші властивостіРедагувати

Представлення у вигляді сумиРедагувати

 -е число шестикутної послідовності можна представити у вигляді суми як

 

де порожня сума покладається рівною  .

Сума обернених шестикутних чиселРедагувати

Сума обернених шестикутних чисел дорівнює  , де  натуральний логарифм,

 

Шестикутні квадратні числаРедагувати

Послідовність чисел, які одночасно є шестикутними та повними квадратами, починається з  ,  ,  ,   (див. послідовність A000384 в OEIS).

Дивись такожРедагувати

External linksРедагувати