Гіпербола Кіперта

Гіпербола Кіперта — гіпербола, яка визначається за даним трикутником. Якщо останній є трикутником загального положення, то ця гіпербола є єдиним конічним перетином, що проходить через його вершини, ортоцентр і центроїд.

Гіпербола Кіперта трикутника ABC. Гіпербола Кіперта проходить через вершини (A, B, C), ортоцентр (H) і центроїд (G) трикутника.

Визначення через ізогональне спряження

Гіпербола Кіперта — крива, ізогонально спряжена прямій, що проходить через точку Лемуана і центр описаного кола даного трикутника.

• Пряма, що проходить через центр описаного кола і точку Лемуана, називається віссю Брокара. На ній лежать точки Аполлонія. Інакше кажучи, гіпербола Кіперта — крива, ізогонально спряжена осі Брокара даного трикутника.

Визначення через трикутники в трикутних координатах

Точка на гіперболі Кіперта.

Визначення через трикутники в трикутних координатах:

Якщо три трикутники $XBC$, $YCA$ і $ZAB$ побудовані на сторонах трикутника $ABC$, є подібними, рівнобедреними з основами на сторонах початкового трикутника, і однаково розташованими (тобто всі вони побудовані або з зовнішнього боку, або з внутрішнього), то прямі $AX$, $BY$ і $CZ$ перетинаються в одній точці $N$. Тоді гіперболу Кіперта можна визначити, як геометричне місце точок $N$ (див. мал.).

Якщо спільний кут при основі дорівнює $\theta$, то вершини трьох трикутників мають такі трикутні координати:

• $X(-\sin \theta :\sin(C+\theta ):\sin(B+\theta ))$
• $Y(\sin(C+\theta ):-\sin \theta :\sin(A+\theta ))$
• $Z(\sin(B+\theta ):\sin(A+\theta ):-\sin \theta )$

Трилінійні координати довільної точки N, що лежить на гіперболі Кіперта

$(\operatorname {cosec} (A+\theta ):\operatorname {cosec} (B+\theta ):\operatorname {cosec} (C+\theta ))$.

Рівняння гіперболи Кіперта в трикутних координатах

Геометричне місце точок $N$ при зміненні кута при основі трикутників $\theta$ між $-\pi /2$ і $\pi /2$ є гіперболою Кіперта з рівнянням

${\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0$,

де $x$, $y$, $z$ — трилінійні координати точки $N$ у трикутнику.

Відомі точки, що лежать на гіперболі Кіперта

Серед точок, що лежать на гіперболі Кіперта, є такі важливі точки трикутника:

Значення $\theta$	Точка $N$
$0$	$G$, центроїд трикутника $ABC$ (X2)
$\pi /2$ (або $-\pi /2$)	$O$, ортоцентр трикутника $ABC$ (X4)
$\operatorname {arctg} [\operatorname {tg} (A/2)\operatorname {tg} (B/2)\operatorname {tg} (C/2)]$	Центр Шпікера (X10)
$\pi /4$	Зовнішня точка Вектена (X485)
$-\pi /4$	Внутрішня точка Вектена (X486)
$\pi /6$	$N_{1}$, перша точка Наполеона (X17)
$-\pi /6$	$N_{2}$, друга точка Наполеона (X18)
$\pi /3$	$F_{1}$, перша точка Ферма (X13)
$-\pi /3$	$F_{2}$, Друга точка Ферма (X14)
$-A$ (якщо $A<\pi /2$) $\pi -A$ (якщо $A>\pi /2$)	вершина $A$
$-B$ (якщо $B<\pi /2$) $\pi -B$ (якщо $B>\pi /2$)	вершина $B$
$-C$ (якщо $C<\pi /2$) $\pi -C$ (якщо $C>\pi /2$)	вершина $C$

Перелік точок, що лежать на гіперболі Кіперта

Гіпербола Кіперта проходить через такі центри трикутника X(i):

• i=2, (центроїд трикутника),
• i=4 (ортоцентр),
• i=10 (центр Шпікера; тобто, інцентр трикутника з вершинами в серединах сторін даного трикутника ABC),
• i=13 (перша точка Ферма), i = 14 (друга точка Ферма),
• i=17 (перша точка Наполеона), i = 18 (друга точка Наполеона),
• i=76 (третя точка Брокара),
• i=83 (точка, ізогонально спряжена серединній точці між точками Брокара),
• i=94, 96,
• i=98 (точка Таррі),
• i=226, 262, 275, 321,
• i=485 (зовнішня точка Вектена), i = 486 (внутрішня точка Вектена),
• i = 598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
• i = 1139 (внутрішня точка п'ятикутника, англ. inner pentagon point), i = 1140 (зовнішня точка п'ятикутника, англ. outer pentagon point),
• i = 1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
• i = 2671 (перша точка золотого арбелоса, англ. first golden arbelos point),
• i = 2672 (друга точка золотого арбелоса, англ. second golden arbelos point),
• i = 2986, 2996

Узагальнення теореми Лестер у вигляді теореми Б. Гіберта (2000)

Теорема Б. Гіберта (2000) узагальнює теорему про коло Лестер, а саме: будь-яке окружність, діаметр якого є хордою гіперболи Кіперта трикутника і перпендикулярний до його прямої Ейлера, проходить через точки Ферма.

Історія

Назву ця гіпербола отримала на честь німецького математика Фрідріха Вільгельма Августа Людвіга Кіперта (1846—1934), який відкрив її.

Властивості

• Гіпербола Кіперта — рівностороння або рівнобічна (тобто її асимптоти перпендикулярні), отже, її центр, позначений в енциклопедії центрів трикутника як Х (115), лежить на колі Ейлера.

Див. також

• Трикутник
• Парабола Кіперта

Література

• Eddy R. H., Fritsch R. . The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Math Magazine, 1994, 67. — P. 188—205.