Точки Наполеона

То́чки Наполео́на в геометрії — пара особливих точок на площині трикутника. Легенда приписує виявлення цих точок французькому імператору Наполеону I, однак його авторство сумнівне^[1]. Точки Наполеона належать до чудових точок трикутника і перераховані в Енциклопедії центрів трикутника як точки X(17) і X(18).

Назву «точки Наполеона» застосовують також до різних пар центрів трикутника, більш відомих як ізодинамічні точки^[2].

Визначення точок ред.

Перша точка Наполеона ред.

Перша точка Наполеона

Нехай ABC — будь-який трикутник на площині. На сторонах BC, CA, AB трикутника будуємо зовнішні правильні трикутники DBC, ECA і FAB відповідно. Нехай центроїди цих трикутників — X, Y і Z відповідно. Тоді прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці, і ця точка N1 є першою (або зовнішньою) точкою Наполеона трикутника ABC.

Трикутник XYZ називають зовнішнім трикутником Наполеона трикутника ABC. Теорема Наполеона стверджує, що цей трикутник є правильним.

В Енциклопедії центрів трикутника першу точку Наполеона позначено як X(17).^[3]

Трилінійні координати точки N1:

{\begin{aligned}&\left(\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(B-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)\end{aligned}}

Барицентричні координати точки N1:

\left(a\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right),c\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)

Друга точка Наполеона ред.

Друга точка Наполеона

Нехай ABC — будь-який трикутник на площині. На сторонах BC, CA, AB трикутника будуємо внутрішні рівносторонні трикутники DBC, ECA і FAB відповідно. Нехай X, Y і Z — центроїди цих трикутників відповідно. Тоді прямі AX, BY а CZ перетинаються в одній точці, і ця точка N2 є другою (або внутрішньою) точкою Наполеона трикутника ABC.

Трикутник XYZ називають внутрішнім трикутником Наполеона трикутника ABC. Теорема Наполеона стверджує, що цей трикутник — правильний.

В енциклопедії центрів трикутника другу точку Наполеона позначено як X(18).^[3]

Трилінійні координати точки N2:

{\begin{aligned}&\left(\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right)\right)\end{aligned}}

Барицентричні координати точки N2:

\left(a\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right),c\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)

Дві точки, тісно пов'язані з точками Наполеона — це точки Ферма (X13 і X14 в енциклопедії точок). Якщо замість прямих, що з'єднують центроїди рівносторонніх трикутників з відповідними вершинами, провести прямі, що з'єднують вершини рівносторонніх трикутників з відповідними вершинами початкового трикутника, так побудовані три прямі будуть перетинатися в одній точці. Точки перетину називають точками Ферма і позначають як F1 і F2. Перетин прямої Ферма (тобто прямої, що з'єднує дві точки Ферма) і прямої Наполеона (тобто прямої, що з'єднує дві точки Наполеона) є симедіаною трикутника (точка X6 в енциклопедії центрів).

Властивості ред.

Гіпербола Кіперта

Гіпербола Кіперта — описана гіпербола, що проходить через центроїд і ортоцентр. Якщо на сторонах трикутника побудувати подібні рівнобедрені трикутники (назовні або всередину), а потім з'єднати їх вершини з протилежними вершинами початкового трикутника, то три таких прямі перетнуться в одній точці, що лежать на гіперболі Кіперта. Зокрема, на цій гіперболі лежать точки Торрічеллі і точки Наполеона (точки перетину чевіан, що з'єднують вершини з центрами побудованих на протилежних сторонах правильних трикутників).

Узагальнення ред.

Результат про існування точок Наполеона можна узагальнювати різним чином. Для визначення точок Наполеона ми використовували рівносторонні трикутники, побудовані на сторонах трикутника ABC, а потім вибирали центри X, Y і Z цих трикутників. Ці центри можна розглядати як вершини рівнобедрених трикутників, побудованих на сторонах трикутника ABC з кутом при основі π/6 (30°). Узагальнення розглядають інші трикутники, які будуються на сторонах трикутника ABC і мають аналогічні властивості, тобто прямі, що з'єднують вершини побудованих трикутників з відповідними вершинами початкового трикутника, перетинаються в одній точці.

Рівнобедрені трикутники ред.

Точка на гіперболі Кіперта.

Гіпербола Кіперта трикутника ABC. Гіпербола проходить через вершини (A, B,C), ортоцентр (O) і центроїд (G) трикутника.

Це узагальнення стверджує:^[4]

Якщо три трикутники XBC, YCA і ZAB, побудовані на сторонах трикутника ABC, є подібними, рівнобедреними з основами на сторонах початкового трикутника, і однаково розташованими (тобто всі побудовані з зовнішнього боку, або всі побудовані з внутрішнього боку), то прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці N.

Якщо спільний кут при основі дорівнює $\theta$ , то вершини трьох трикутників мають такі трилінійні координати.

$X(-\sin \theta ,\sin(C+\theta ),\sin(B+\theta ))$
$Y(\sin(C+\theta ),-\sin \theta ,\sin(A+\theta ))$
$Z(\sin(B+\theta ),\sin(A+\theta ),-\sin \theta )$

Трилінійні координати точки N

(\csc(A+\theta ),\csc(B+\theta ),\csc(C+\theta ))

Кілька окремих випадків.

Значення $\theta$	Точка $N$
0	G, центроїд трикутника ABC (X2)
π/2 (або, —π/2)	O, ортоцентр трикутника ABC (X4)
$\mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]$	Центр Шпікера (X10)
π/4	Зовнішня точка Вектена (X485)
—π/4	Внутрішня точка Вектена (X486)
π/6	N1, перша точка Наполеона (X17)
—π/6	N2, друга точка Наполеона (X18)
π/3	F1, перша точка Ферма (X13)
—π/3	F2, друга точка Ферма (X14)
—A (якщо A < π/2) π—A (якщо A > π/2)	Вершина A
—B (якщо B < π/2) π—B (якщо B > π/2)	Вершина B
—C (якщо C < π/2) π—C (якщо C > π/2)	Вершина C

Більше того, геометричне місце точок N при зміні кута при основі трикутників $\theta$ між —π/2 і π/2 є гіперболою

{\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0,

де $x,y,z$ — трилінійні координати точки N в трикутнику.

Історія ред.

Цю гіперболу називають гіперболою Кіперта (на честь німецького математика Людвіга Кіперта^[de], який відкрив її^[4]). Ця гіпербола — єдиний конічний перетин, що проходить через точки A, B, C, G і O.

Зауваження ред.

Дуже схожу властивість має центр Шпікера. Центр Шпікера S є точкою перетинів прямих AX, BY і CZ, де трикутники XBC, YCA і ZAB подібні, рівнобедрені і однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника ABC зовні, що мають один і той самий кут біля основи $\mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]$ .

Подібні трикутники ред.

Узагальнення точки Наполеона — окремий випадок

Щоб три прямі AX, BY і CZ перетиналися в одній точці, трикутники XBC, YCA і ZAB, побудовані на сторонах трикутника ABC, не обов'язково мають бути рівнобедреними^[5].

Якщо подібні трикутники XBC, AYC і ABZ побудовано з зовнішніх боків на сторонах довільного трикутника ABC, то прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці.

Довільні трикутники ред.

Прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці навіть за слабших умов. Так умова є однією з найзагальніших умов, щоб прямі AX, BY і CZ перетиналися в одній точці^[5]:

Якщо трикутники XBC, YCA і ZAB побудовано з зовнішнього боку на сторонах трикутника ABC так, що

∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY,

то прямі AX, BY і CZ перетинаються в одній точці.

Узагальнення точки Наполеона

Про відкриття точок Наполеона ред.

Коксетер і Грейтцер формулюють теорему Наполеона так: якщо рівносторонні трикутники побудовано з зовнішнього боку на сторонах будь-якого трикутника, то їхні центри утворюють рівносторонній трикутник. Вони зазначають, що Наполеон Бонапарт був трохи математиком і мав великий інтерес до геометрії, однак вони сумніваються, що він був достатньо геометрично освіченим, щоб відкрити теорему, приписувану йому^[1].

Найраніша збережена публікація з точками — стаття в щорічному журналі «The Ladies' Diary» (Жіночий щоденник, 1704—1841) у номері за 1825 рік. Теорема входила у відповідь на питання, надіслане У. Резенфордом, проте в цій публікації про Наполеона не згадано.

1981 року німецький історик математики Крістоф Скриба^[en] опублікував у журналі Historia Mathematica результати дослідження питання приписування точок Наполеону ^[6].

Див. також ред.

Теорема ван Обеля
Точка Ферма
Точки Вектена — пара центрів трикутника, побудованих аналогічно точкам Наполеона з використанням квадратів замість рівносторонніх трикутників.

Примітки ред.

↑ ^а ^б Coxeter, Greitzer, 1967, с. 61–64.
↑ Rigby, 1988, с. 129–146.
↑ ^а ^б Kimberling, Clark. Encyclopedia of Triangle Centers. Процитовано 2 травня 2012.
↑ ^а ^б Eddy, Fritsch, 1994, с. 188–205.
↑ ^а ^б de Villiers, 2009, с. 138–140.
↑ Scriba, 1981, с. 458–459.

Література ред.

J. F. Rigby. Napoleon revisited // Journal of Geometry. — 1988. — Т. 33, вип. 1—2 (21 квітня). — С. 129—146. — DOI:10.1007/BF01230612.
The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Mathematics Magazine. — 1994. — Т. 67 June, вип. 3 (21 квітня). — DOI:10.2307/2690610. Процитовано 2012-04-26.
Michael de Villiers. Some Adventures in Euclidean Geometry. — Dynamic Mathematics Learning, 2009. — ISBN 9780557102952.
H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Geometry Revisited. — Mathematical Association of America, 1967. Перевод: Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. — М. : «Наука», 1978. — (Библиотека математического кружка)
Christoph J Scriba. Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen? // Historia Mathematica. — 1981. — Т. 8, вип. 4 (21 квітня). — DOI:10.1016/0315-0860(81)90054-9.
Stachel, Hellmuth. Napoleon's Theorem and Generalizations Through Linear Maps // Contributions to Algebra and Geometry : journal. — 2002. — Vol. 43, no. 2 (21 April). — P. 433—444. Процитовано 2012-04-25.
Grünbaum, Branko. A relative of "Napoleon's theorem" // Geombinatorics. — 2001. — Т. 10 (21 April). — С. 116—121. Процитовано 2012-04-25.
Katrien Vandermeulen та ін. Napoleon, a mathematician ?. Maths for Europe. Архів оригіналу за 30 серпня 2012. Процитовано 25 квітня 2012. {{cite web}}: Явне використання «та ін.» у: |last= (довідка)
Bogomolny, Alexander. Napoleon's Theorem. Cut The Knot! An interactive column using Java applets. Процитовано 25 квітня 2012.
Napoleon's Thm and the Napoleon Points. Архів оригіналу за 21 січня 2012. Процитовано 24 квітня 2012.
Weisstein, Eric W. Napoleon Points. From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Процитовано 24 квітня 2012.
Philip LaFleur. Napoleon’s Theorem (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 7 вересня 2012. Процитовано 24 квітня 2012.
Wetzel, John E. (1992-04). Converses of Napoleon's Theorem (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 29 квітня 2014. Процитовано 24 квітня 2012.

[FOOTNOTECoxeter,_Greitzer196761–64-1] а ^б Coxeter, Greitzer, 1967, с. 61–64.

[FOOTNOTERigby1988129–146-2] Rigby, 1988, с. 129–146.

[ETC-3] а ^б Kimberling, Clark. Encyclopedia of Triangle Centers. Процитовано 2 травня 2012.

[FOOTNOTEEddy,_Fritsch1994188–205-4] а ^б Eddy, Fritsch, 1994, с. 188–205.

[FOOTNOTEde_Villiers2009138–140-5] а ^б de Villiers, 2009, с. 138–140.

[FOOTNOTEScriba1981458–459-6] Scriba, 1981, с. 458–459.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]