Коло дев'яти точок

Дев’ять точок

Коло дев’яти точок — це коло, яке можна побудувати для будь-якого трикутника. Так називається воно через те, що воно проходить через дев’ять важливих точок, шість з яких лежать на самому трикутнику (за винятком тупокутних трикутників). Ці точки:

  • Середина кожної сторони трикутника
  • Основа кожної висоти
  • Середини відрізків, що сполучають вершини трикутника з ортоцентром

Коло дев’яти точок також відоме як коло Феєрбаха або коло Ейлера.

Доведення теореми про Коло 9 точокРедагувати

 
Малюнок 2

Доведемо тепер, що точки  (основи висот),   (середини відрізків, що сполучають ортоцентр та вершини трикутника) та   (основи медіан) лежать на одному колі (рис. 2).  З'єднаємо точки   та   ,  та   ,  та   ,   та  , тоді отримаємо паралелограм  , тому що   серединна лінія в трикутнику   тобо   паралельна .   серединна лінія в трикутнику   звідси випливає, що   прарельно  . Аналогічним чином доводиться, що   паралельно  ,  але також паралельно висоті   , тоді   = 90о звідси випливає, що   ­ = 90о. Тобто паралелограм ­ є прямокутником. Тепер з'єднаємо точки   та  ,   та  ,  та  ,  та  . Так само отримаємо, що   прямокутник. У цих прямокутниках дві спільні вершини, тобто ці прямокутники лежать на одному колі, бо в них спільний діаметр. Ми довели, що середини відрізків отриманих сполученням ортоцентра та вершин трикутника та основи медіан належать одному колу. Зараз доведемо, що основи висот також належать цьому колу.   = 90о та спирається на діаметр (бо діагоналі в прямокутниках – є діаметрами кола, що описане навколо прямокутника) кола утвореного з середини відрізків отриманих сполученням ортоцентра та вершин трикутника, та основ медіан, тобто точка   лежить на колі. Аналогічним чином  доводиться, що основи висот   також належать цьому колу.

Теорема ФеєрбахаРедагувати

Теорема Феєрбаха стверджує, що

Коло дев'яти точок довільного трикутника дотикається до вписаного кола і всіх трьох зовнівписаних кіл цього трикутника.


Ця теорема була сформульована і доведена Карлом Вільгельмом Феєрбахом в 1822-у році.

ПосиланняРедагувати

Коло дев’яти точок на сайті MathWorld