Центроїд трикутника

Центроїд трикутника (також барицентр трикутника і центр ваги трикутника) — точка перетину медіан у трикутнику^[1] .

Центроїд традиційно позначається латинською буквою $M$ . Центроїд трикутника належить до чудових точок трикутника і його згадано в енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга, як точку X(2).

Властивості ред.

Центроїд ділить кожну медіану у відношенні 2:1, починаючи від вершини.
Центроїд лежить на відрізку, що з'єднує ортоцентр і центр описаного кола, і ділить його у відношенні 2:1 (див. лінія Ейлера).
Якщо у вершинах трикутника помістити рівні маси, то центр мас (барицентр) отриманої системи буде збігатися з центроїдом. Більш того, центр мас трикутника з рівномірно розподіленою масою також міститься у центроїді.
Якщо $M$ — центроїд трикутника $ABC$ то для будь-якої точки $O$ справджується рівність
${\overrightarrow {OM}}={\frac {1}{3}}({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}})$ .
Центроїд є точкою, для якої сума квадратів відстаней до вершин трикутника набуває найменшого значення (теорема Лейбніца).
Три відрізки прямих, що з'єднують вершини трикутника з центроїдом, розбивають цей трикутник на три рівновеликих трикутники (з рівними площами).
Три відрізки прямих, що з'єднують середини сторін трикутника з центроїдом, розбивають цей трикутник на три рівновеликих чотирикутники (з рівними площами).
При ізогональному сполученні центроїд переходить у точку Лемуана (в точку перетину трьох симедіан трикутника).
Побудуємо дві прямі, кожна з яких проходить через точку Аполлонія і точку Торрічеллі, що не збігається з ізогонально спряженою їй. Такі прямі перетнуться в центроїді трикутника.
Нехай $ABC$ — трикутник на площині. Коло, що проходить через центроїд і дві точки Аполлонія трикутника $ABC$ , називається колом Паррі трикутника $ABC$ .
Три чевіани, проведені через довільну точку $O$ всередині трикутника, ділять своїми кінцями сторони трикутника на шість відрізків. Добуток довжин трьох із шести відрізків, які не мають спільних кінців, максимальний, якщо точка $O$ збігається з центроїдом^[2].
Сума квадратів сторін трикутника дорівнює потроєній сумі квадратів відстаней від центроїда до вершин:

AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})

.^[3]

Нехай $q_{a}$ , $q_{b}$ і $q_{c}$ — відстані від центроїда до сторін з довжинами, які відповідно дорівнюють $a$ , $b$ і $c$ . Тоді^[4] ^:173

{\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}

і

q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}S

,

де

S

— площа трикутника.

Історія ред.

Факт того, що три медіани перетинаються в одній точці, довів ще Архімед.

Варіації й узагальнення. Центроїди в чотирикутнику ред.

Центроїд (барицентр або центр мас) довільного чотирикутника лежить у точці перетину середніх ліній чотирикутника і відрізка, що з'єднує середини діагоналей, і ділить всі три відрізки навпіл.

Чотири відрізки, кожен з яких з'єднує вершину чотирикутника з центроїдом трикутника, утвореного іншими трьома вершинами, перетинаються в центрі ваги чотирикутника і діляться ним у відношенні 3:1, рахуючи від вершини.

Якщо у вписаному в коло чотирикутнику провести діагональ, а в отримані два трикутники вписати два кола, потім зробити так само, провівши другу діагональ, тоді центроїди цих чотирьох трикутників лежатимуть на одному колі^[5].
В опуклого чотирикутника, вписаного в коло, «центроїд площі» або центр мас його площі $G a$ , вершинний центроїд або центр мас чотирьох його вершин $G v$ і точка перетину його діагоналей $P$ колінеарні. Відстані між цими точками задає формула^[6]

PG_{a}={\tfrac {4}{3}}PG_{v}.

Див. також ред.

Примітки ред.

↑ Е. Смирнова. [1] — Litres, 2017-09-05. — С. 165. Архівовано з джерела 8 травня 2021
↑ Зетель, 1962, с. 12.
↑ Altshiller-Court, (1925, с. 70–71)
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
↑ Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Cyclic quads, Mathematical Olympiad Treasures, Springer, с. 44—46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, MR 2025063, архів оригіналу за 8 травня 2021, процитовано 8 травня 2021
↑ Bradley, Christopher (2011), Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral (PDF), архів оригіналу (PDF) за 17 січня 2021, процитовано 8 травня 2021

Література ред.

Понарин Я. П.^[ru] Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 80-81. — ISBN 5-94057-170-0.
Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М: Учпедгиз, 1962. 153 с.
Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (вид. 2nd), New York: Barnes & Noble, LCCN 52013504

[1] Е. Смирнова. [1] — Litres, 2017-09-05. — С. 165. Архівовано з джерела 8 травня 2021

[FOOTNOTEЗетель196212-2] Зетель, 1962, с. 12.

[3] Altshiller-Court, (1925, с. 70–71)

[Johnson-4] Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007

[Andreescu-5] Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Cyclic quads, Mathematical Olympiad Treasures, Springer, с. 44—46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, MR 2025063, архів оригіналу за 8 травня 2021, процитовано 8 травня 2021

[6] Bradley, Christopher (2011), Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral (PDF), архів оригіналу (PDF) за 17 січня 2021, процитовано 8 травня 2021

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]