Лінія Ейлера

В геометрії пряма Ейлера, названа на честь Леонарда Ейлера, — це пряма, яка визначена для будь-якого трикутника відмінного від рівностороннього. Вона є центральною прямою^[en] трикутника і проходить через кілька важливих точок, які визначаються по трикутнику, включаючи ортоцентр, описане коло, центроїд, точку Ексетера^[en] та центр кола дев'яти точок трикутника^[1].

Пряма Ейлера (червона) — це пряма, яка проходить через центроїд (помаранчевий), ортоцентр (синій), центр описаного кола (зелений) та центр кола дев'яти точок (червоний).

Поняття прямої Ейлера в трикутнику поширюється на пряму Ейлера для інших фігур, такі як чотирикутник і тетраедр.

Центри трикутника на прямій Ейлера ред.

Окремі центри ред.

У 1765 році Ейлер показав, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, центр описаного кола та центроїд лежать на одній прямій^[2]. Ця властивість справедлива і для іншого центра трикутника, — центра кола дев'яти точок, хоча він не був визначений за часів Ейлера. У рівносторонніх трикутниках ці чотири точки збігаються, але в будь-якому іншому трикутнику всі вони відрізняються один від одного, і пряма Ейлера визначається будь-якими двома з них.

Інші визначні точки, які лежать на прямій Ейлера, включають точку Лонгшампа^[en], точку Шифлера^[en], точку Ексетера^[en] та перспектор Госсара^[en]^[1]. Однак центр вписаного кола, зазвичай, не лежить на прямій Ейлера^[3]; він знаходиться на прямій Ейлера лише для рівнобедрених трикутників^[4], для якої пряма Ейлера збігається з віссю симетрії трикутника і містить усі центри трикутника.

Тангенціальний трикутник опорного трикутника дотичний до кола описаного навколо останнього у вершинах опорного трикутника. Цент кола описаного навколо дотичного трикутника лежить на прямій Ейлера опорного трикутника^[5]^{:p. 447}^[6]^{:p.104,#211;p.242,#346}. Центр подібності^[en] ортичного трикутника (утвореного основами висот) та дотичного трикутника також знаходиться на прямій Ейлера^[5]^{:p. 447}^[6]^{:p. 102}.

Векторне доведення ред.

Розглянемо трикутник $ABC$ . Довести, що центр описаного кола $O$ , центроїд $G$ та ортоцентр $H$ є колінеарними, можна за допомогою векторів. По-перше, $G$ задовольняє відношенню:

{\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}=0.

Це випливає з того, що модулі барицентричних координат $G$ відносяться як ${\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}$ . Далі, задача Сильвестра^[7] інтерпретується як

{\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}.

Тепер, за допомогою векторного додавання, отримаємо, що

{\vec {GO}}={\vec {GA}}+{\vec {AO}}\,{\mbox{(}}\triangle AGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GB}}+{\vec {BO}}\,{\mbox{(}}\triangle BGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GC}}+{\vec {CO}}\,{\mbox{(}}\triangle CGO{\mbox{)}}.

Додаючи усі ці три вирази, отримаємо, що

3\cdot {\vec {GO}}=\left({\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}\right)+\left({\vec {AO}}+{\vec {BO}}+{\vec {CO}}\right)=0-\left({\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}\right)=-{\vec {OH}}.

Остаточно, $3\cdot {\vec {OG}}={\vec {OH}}$ і три точки $O$ , $G$ і $H$ (у такій послідовності) будуть колінеарними.

У книзі Доррі^[7] пряма Ейлера та проблема Сильвестра об'єднані в одне доведення. Однак більшість доказів задачі Сильвестра спираються на основні властивості вільних векторів, незалежно від прямої Ейлера.

Відстані між центрами ред.

На прямій Ейлера центроїд $G$ знаходиться між центром описаного кола $O$ і ортоцентром $H$ , і вдвічі далі від ортоцентра, ніж від центра описаного кола^[6]^:p.102:

GH=2GO;

OH=3GO.

Відрізок $GH$ — це діаметр ортоцентроїдального кола^[en].

Центр $N$ кола дев'яти точок лежить уздовж прямої Ейлера посередині між ортоцентром і центром описаного кола^[1]:

ON=NH,\quad OG=2\cdot GN,\quad NH=3GN.

Таким чином, пряма Ейлера може бути представлена на числовій прямій з центром описаного кола $O$ розташованим у 0, центроїдом $G$ в 2 $t$ , центром кола дев'яти точок у 3 $t$ і ортоцентрі^[en] $H$ в 6 $t$ , для деякого коефіцієнту масштабу $t$ . Крім того, квадрат відстані між центроїдом та центром описаного кола на прямій Ейлера менше, ніж R² описаного кола на величину, яка дорівнює 1/9 сумі квадратів сторін трикутника $a$ , $b$ та $c$ ^[6]^:p.71:

GO^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).

Також виконуються^[6]^:p.102,

OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2});

GH^{2}=4R^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).

Представлення ред.

Нехай A, B, C позначають кути вершин трикутника, x : y : z — задають координати точки у трилінійних координатах; тоді рівнянням прямої Ейлера буде

\sin(2A)\sin(B-C)x+\sin(2B)\sin(C-A)y+\sin(2C)\sin(A-B)z=0.

Рівняння для прямої Ейлера в барицентричних координатах $\alpha :\beta :\gamma$ ^[8]:

(\mathop {\rm {tg}} C-\mathop {\rm {tg}} B)\alpha +(\mathop {\rm {tg}} A-\mathop {\rm {tg}} C)\beta +(\mathop {\rm {tg}} B-\mathop {\rm {tg}} A)\gamma =0.

Параметричне представлення ред.

Інший спосіб представити пряму Ейлера — залежною від параметра t. Скористаємось трилінійними координатами двох точок — центром описаного кола (з трилінійними координатами $\cos A:\cos B:\cos C$ ) та ортоцентром (з трилінійними координатами $\sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B)$ . Тоді кожна точка на прямій Ейлера, крім ортоцентра, задається трилінійними координатами

\cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C\cos A:\cos C+t\cos A\cos B

як лінійна комбінація трилінійними координат цих двох точок, для деякого t.

Наприклад:

Центр описаного кола має трилінійні координати $\cos A:\cos B:\cos C$ , що відповідає значенню параметра $t=0.$
Центроїд має трилінійні координати $\cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B$ , що відповідає значенню параметра $t=1.$
Центр кола дев'яти точок має трилінійні координати $\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B$ , що відповідає значенню параметра $t=2.$
Точка Лонгшампа^[en] має трилінійні координати $\cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B$ , що відповідає значенню параметра $t=-1.$

Нахил ред.

У декартовій системі координат позначають нахили сторін трикутника як $m_{1},$ $m_{2},$ та $m_{3},$ і позначають нахил його прямої Ейлера як $m_{E}$ . Тоді вони пов'язані рівнянням^[9]^{:Lemma 1}

m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{1}m_{E}+m_{2}m_{3}+m_{2}m_{E}+m_{3}m_{E}+3m_{1}m_{2}m_{3}m_{E}+3=0.

Таким чином, нахил прямої Ейлера (якщо він скінченний) виражається в термінах нахилів сторін як

m_{E}=-{\frac {m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{2}m_{3}+3}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+3m_{1}m_{2}m_{3}}}.

Більше того, пряма Ейлера паралельна стороні гострого трикутника BC тоді і лише тоді, коли^[9]^:p.173 $\mathop {\rm {tg}} B\mathop {\rm {tg}} C=3.$

Зв'язок з вписаними рівносторонніми трикутниками ред.

Геометричне місце точок центроїдів рівносторонніх трикутників, вписаних у даний трикутник, утворена двома прямими, перпендикулярними прямій Ейлера даного трикутника^[10]^{:Coro. 4}.

У спеціальних трикутниках ред.

Прямокутний трикутник ред.

У прямокутному трикутнику пряма Ейлера збігається з медіаною проведеною до гіпотенузи, тобто вона проходить через вершину прямого кута і через середину сторони, протилежну цій вершині. Це тому, що ортоцентр прямокутного трикутника, перетин його висот потрапляє у вершину прямого кута, тоді як його центр описаного кола, перетин серединних перпендикулярів до сторін, потрапляє на середину гіпотенузи.

Рівнобедрений трикутник ред.

Пряма Ейлера в рівнобедреному трикутнику збігається з віссю симетрії. У рівнобедреному трикутнику центр вписаного кола потрапляє на лінію Ейлера.

Примітки ред.

↑ ^а ^б ^в Kimberling, Clark (1998). Triangle centers and central triangles. Congressus Numerantium. 129: i—xxv, 1—295.
↑ Euler, Leonhard (1767). Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum [Easy solution of some difficult geometric problems]. Novi Commentarii Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae. 11: 103—123. E325. Архів оригіналу за 21 липня 2020. Процитовано 18 грудня 2019. Reprinted in Opera Omnia, ser. I, vol. XXVI, pp. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR 0061061. Summarized at: Dartmouth College. [Архівовано 11 квітня 2015 у Wayback Machine.]
↑ Schattschneider, Doris; King, James (1997). Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research. The Mathematical Association of America. с. 3—4. ISBN 978-0883850992. Архів оригіналу за 22 вересня 2021. Процитовано 18 грудня 2019.
↑ Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), Orthocentric simplices and biregularity, Results in Mathematics^[en], 52 (1–2): 41—50, doi:10.1007/s00025-008-0294-4, MR 2430410, It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles.
↑ ^а ^б Leversha, Gerry; Smith, G. C. (November 2007), Euler and triangle geometry, The Mathematical Gazette^[en], 91 (522): 436—452, JSTOR 40378417.
↑ ^а ^б ^в ^г ^д Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).
↑ ^а ^б Dörrie, Heinrich, «100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution». Dover Publications, Inc., New York, 1965, ISBN 0-486-61348-8, pages 141 (Euler's Straight Line) and 142 (Problem of Sylvester)
↑ Scott, J.A., «Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry», Mathematical Gazette 83, November 1999, 472—477.
↑ ^а ^б Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi, and Bogdan D. Suceava, «Gossard's Perspector and Projective Consequences», Forum Geometricorum, Volume 13 (2013), 169—184. [1] [Архівовано 30 серпня 2017 у Wayback Machine.]
↑ Francisco Javier Garc ́ıa Capita ́n, «Locus of Centroids of Similar Inscribed Triangles», Forum Geometricorum 16, 2016, 257—267 .http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf [Архівовано 24 квітня 2018 у Wayback Machine.]

Посилання ред.

An interactive applet showing several triangle centers that lies on the Euler line [Архівовано 20 січня 2020 у Wayback Machine.].(англ.)
"Euler Line" [Архівовано 29 вересня 2019 у Wayback Machine.] and "Non-Euclidean Triangle Continuum" [Архівовано 12 жовтня 2019 у Wayback Machine.] at the Wolfram Demonstrations Project
Nine-point conic and Euler line generalization [Архівовано 11 лютого 2020 у Wayback Machine.], A further Euler line generalization [Архівовано 5 квітня 2016 у Wayback Machine.], and The quasi-Euler line of a quadrilateral and a hexagon [Архівовано 10 грудня 2019 у Wayback Machine.] at Dynamic Geometry Sketches [Архівовано 11 листопада 2020 у Wayback Machine.]
Олександр Богомольний, Висота трикутника та пряма Ейлера [Архівовано 15 січня 2021 у Wayback Machine.] та Пряма Ейлера та коло 9-ти точок [Архівовано 8 січня 2021 у Wayback Machine.] на сайті «cut-the-knot»
Kimberling, Clark, Triangle centers on the Euler line, Triangle Centers, архів оригіналу за 10 лютого 2007, процитовано 8 січня 2020
Stankova, Zvezdelina (1 лютого 2016), Triangles have a Magic Highway, Numberphile, YouTube, архів оригіналу за 8 серпня 2019, процитовано 8 січня 2020
Weisstein, Eric W. Euler Line(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

[k-1] а ^б ^в Kimberling, Clark (1998). Triangle centers and central triangles. Congressus Numerantium. 129: i—xxv, 1—295.

[2] Euler, Leonhard (1767). Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum [Easy solution of some difficult geometric problems]. Novi Commentarii Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae. 11: 103—123. E325. Архів оригіналу за 21 липня 2020. Процитовано 18 грудня 2019. Reprinted in Opera Omnia, ser. I, vol. XXVI, pp. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, MR 0061061. Summarized at: Dartmouth College. [Архівовано 11 квітня 2015 у Wayback Machine.]

[3] Schattschneider, Doris; King, James (1997). Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research. The Mathematical Association of America. с. 3—4. ISBN 978-0883850992. Архів оригіналу за 22 вересня 2021. Процитовано 18 грудня 2019.

[4] Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), Orthocentric simplices and biregularity, Results in Mathematics^[en], 52 (1–2): 41—50, doi:10.1007/s00025-008-0294-4, MR 2430410, It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles.

[SL-5] а ^б Leversha, Gerry; Smith, G. C. (November 2007), Euler and triangle geometry, The Mathematical Gazette^[en], 91 (522): 436—452, JSTOR 40378417.

[ac-6] а ^б ^в ^г ^д Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).

[Dorrie-7] а ^б Dörrie, Heinrich, «100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution». Dover Publications, Inc., New York, 1965, ISBN 0-486-61348-8, pages 141 (Euler's Straight Line) and 142 (Problem of Sylvester)

[8] Scott, J.A., «Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry», Mathematical Gazette 83, November 1999, 472—477.

[BHS-9] а ^б Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi, and Bogdan D. Suceava, «Gossard's Perspector and Projective Consequences», Forum Geometricorum, Volume 13 (2013), 169—184. [1] [Архівовано 30 серпня 2017 у Wayback Machine.]

[Garcia-10] Francisco Javier Garc ́ıa Capita ́n, «Locus of Centroids of Similar Inscribed Triangles», Forum Geometricorum 16, 2016, 257—267 .http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf [Архівовано 24 квітня 2018 у Wayback Machine.]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]