Точки Вектена

точки перетину відрізків, що з'єднують вершини трикутника з центрами квадратів, побудованих на протилежних сторонах

У планіметрії зовнішня і внутрішня точки Вектена — точки, які будуються на основі даного трикутника аналогічно першій і другій точкам Наполеона. Однак для побудови вибираються центри не рівносторонніх трикутників, а квадратів, побудованих на сторонах даного трикутника (див. рис.).

Зовнішня і внутрішня точки Вектена

Зовнішня точка ВектенаРедагувати

Нехай ABC — довільний трикутник. На його сторонах BC, CA, AB назовні побудуємо три квадрати відповідно з центрами  . Тоді лінії  ,   і   перетинаються в одній точці, званій зовнішньою точкою Вектена трикутника ABC.

В Енциклопедії центрів трикутника зовнішня точка Вектена позначається як X (485)[1].

ІсторіяРедагувати

Зовнішню точку Вектена названо так на початку XIX століття на честь французького математика Вектена, який вивчав математику в один час з Жергоном[ru] в Німі й опублікував своє дослідження про фігуру у вигляді трьох квадратів, побудованих на трьох сторонах трикутника 1817 року[2]. За іншими даними, це сталося в 1812/1813 роках. При цьому посилаються на роботу[3].

Внутрішня точка ВектенаРедагувати

Нехай ABC — довільний трикутник. На його сторонах BC, CA, AB назовні побудуємо три квадрати відповідно з центрами  . Тоді лінії   і   перетинаються в одній точці, званій внутрішньою точкою Вектена трикутника ABC.

В Енциклопедії центрів трикутника внутрішня точка Вектена позначається як X(486)[1].

Пряма   перетинає пряму Ейлера в центрі дев'яти точок трикутника  . Точки Вектена лежать на гіперболі Кіперта.

Положення на гіперболі КіпертаРедагувати

Координата зовнішньої і внутрішньої точок Вектена можна отримати з рівняння гіперболи Кіперта за значень кута   при основах трикутників відповідно π/4 і -π/4.

АсоціаціїРедагувати

Малюнок вище для побудови зовнішньої точки Вектена у разі, якщо вона проводиться для прямокутного трикутника, збігається з малюнком одного з доведень теореми Піфагора (див. на рис. нижче так звані піфагорові штани).

 
Піфагорові штани. Сума площ квадратів, побудованих на катетах   і  , дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі  
 
Піфагорові штани. Креслення до доведення Евкліда. Основний напрямок доведення — встановлення конгруентності  , площа яких становить половину площі прямокутників   і   відповідно.

Див. такожРедагувати

  • Точки Наполеона — пара центрів трикутника, побудованих аналогічним способом з використанням замість квадратів рівносторонніх трикутників

ПриміткиРедагувати

  1. а б Kimberling, Clark. Encyclopedia of Triangle Centers. 
  2. Ayme, Jean-Louis. La Figure de Vecten. Процитовано 2014-11-04. 
  3. Peter Ladislaw Hammer[de], Ellis Lane Johnson[de], Bernhard H. Korte[de]. Discrete Optimization II. — Amsterdam : Elsevier, 2000. — ISBN 978-0-08-086767-0.

ПосиланняРедагувати