Розгортка кубика Рубіка. Кожному з поворотів граней відповідає елемент групи S48.

Група кубика Рубіка — підгрупа симетричної групи S48, елементи якої відповідають рухам кубика Рубіка. Під рухом мається на увазі поворот однієї з граней або послідовність таких поворотів.

ВизначенняРедагувати

У 3×3×3 кубика 6 граней по 9 етикеток, але центральні етикетки граней при будь-яких рухах залишаються на своїх місцях.

Позначимо центри граней літерами   (див. малюнок), а інші етикетки — числами від 1 до 48.

Тепер поворотам відповідних граней на 90° за годинниковою стрілкою ми можемо зіставити елементи симетричної групи   етикеток кубика Рубіка, які не є центрами граней:

 
 
 
 
 
 

Тоді група кубика Рубіка   визначається як підгрупа  , породжена поворотами шести граней на 90°[1]:

 

ВластивостіРедагувати

Порядок групи   дорівнює[1][2][3][4][5]

 

Нехай  граф Келі групи   з 18 утворюючими, які відповідають 18 ходам метрики FTM.

Кожна з   конфігурацій може бути вирішена не більше ніж за 20 ходів FTM. Іншими словами, ексцентриситет вершини графа  , яка відповідає «зібраному» стану головоломки, дорівнює 20[6].

Діаметр графа   також дорівнює 20[7].

Найбільший порядок елемента в   дорівнює 1260. Наприклад, послідовність ходів   необхідно повторити 1260 разів[8], перш ніж кубик Рубіка повернеться до початкового стану[9].

  не є абелевою групою, оскільки, наприклад,  . Іншими словами, не всі пари поворотів комутують[10].

ПідгрупиРедагувати

Група квадратівРедагувати

Група квадратів (square group) — підгрупа групи  , породжувана поворотами граней на 180°[4]:

 

Порядок групи квадратів дорівнює 663 552[11].

Група квадратів використовується в алгоритмі Тістлетуейта, за допомогою якого вдалося довести достатність 45 ходів для складання кубика Рубика.

Центр групиРедагувати

Центр групи складається з елементів, що комутують з кожним елементом групи. Центр групи кубика Рубіка складається з двох елементів: тотожна перестановка та суперфліп[en][4].

Супергрупа кубика РубікаРедагувати

Етикетки, що знаходяться в центрах граней кубика Рубіка, не переміщаються, але повертаються. На звичайному кубику Рубіка орієнтація центрів граней невидима.

Група всіх рухів кубика Рубіка з видимими орієнтаціями центрів граней називається супергрупою кубика Рубика. Вона в   разів більше групи  [4].

Гамільтонів цикл на графі КеліРедагувати

На графі Келі   групи   з 12 утворюючими, які відповідають ходам метрики QTM, існує гамільтонів цикл. Знайдений цикл використовує повороти лише 5 з 6 граней[12][13].

Існує відповідна гіпотеза Ласло Ловаса для довільного графа Келі.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. а б Schönert, Martin. Analyzing Rubik's Cube with GAP (en). Архів оригіналу за 2013-01-20. Процитовано 2013-07-19. 
  2. В. Дубровский. . — № 8.
  3. Jaap Scherphuis. Rubik's Cube 3x3x3 (en). Архів оригіналу за 2013-07-28. Процитовано 2013-07-19.  Проігноровано невідомий параметр |subtitle= (довідка)
  4. а б в г Jaap Scherphuis. Useful Mathematics (en). Архів оригіналу за 2012-11-24. Процитовано 2013-07-22. 
  5. Ryan Heise. Rubik's Cube theory: Laws of the cube (en). Архів оригіналу за 2013-08-02. Процитовано 2013-07-21. 
  6. Rokicki, T.; Kociemba, H.; Davidson, M.; and Dethridge, J. God's Number is 20 (en). Архів оригіналу за 2013-07-21. Процитовано 2013-07-19. 
  7. Weisstein, Eric W. Rubik's Cube (en). Процитовано 2013-07-22. 
  8. Lucas Garron. (R U2 D' B D')1260 (en). Архів оригіналу за 2013-09-05. Процитовано 2013-07-22. 
  9. Joyner, David (2002). Adventures in group theory: Rubik's Cube, Merlin's machine, and Other Mathematical Toys. Baltimore: Johns Hopkins University Press. с. 7. ISBN 0-8018-6947-1. 
  10. Davis, Tom (2006). Group Theory via Rubik’s Cube. Архів оригіналу за 2013-10-02. Процитовано 2013-07-22. 
  11. Jaap Scherphuis. Cube subgroups (en). Архів оригіналу за 2013-01-20. Процитовано 2013-07-22. 
  12. Bruce Norskog. A Hamiltonian circuit for Rubik's Cube!. Domain of the Cube Forum. Архів оригіналу за 2013-08-18. Процитовано 2013-07-21. 
  13. Bruce Norskog. A Hamiltonian circuit for Rubik's Cube!. Speedsolving.com. Архів оригіналу за 2014-05-30. Процитовано 2013-07-21. 

ЛітератураРедагувати

  • Joyner, David (2002). Adventures in group theory: Rubik's Cube, Merlin's machine, and Other Mathematical Toys. Baltimore: Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-6947-1. 

ПосиланняРедагувати