Відкрити головне меню

Словник термінів теорії груп

стаття-список у проекті Вікімедіа

Для загального ознайомлення з теорією груп див. Група (математика) і Теорія груп.

Курсив позначає посилання на цей словник.


 Зміст:   А Б В Г Ґ Д Е Є Ж З И І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я 


PРедагувати

P-група — група, всі елементи якої мають порядок, рівний деякому степеню простого числа   (не обов'язково однаковому в усіх елементів). Також говорять про примарну групу.

АРедагувати

Абелева група — комутативна група.

Абелізація групи G — фактор-група G/[G,G]

Адитивна група кільця — група, елементами якої є всі елементи даного кільця, а операція збігається з операцією додавання в кільці.

Антигомоморфізм групвідображення груп   таке, що

 

для довільних a і b в G (порівняйте з гомоморфізмом).

Абсолютно регулярна p-група — скінченна p-група, в якій  , де   — підгрупа  , утворена p-ми степенями її елементів.

ВРедагувати

Вільна група, породжена множиною   — група, породжена елементами цієї множини, що не має жодних співвідношень, крім співвідношень, що визначають групу. Всі вільні групи, породжені равнопотужними множинами, ізоморфні.

ГРедагувати

Головний ряд підгруп - ряд підгруп, в якому   — максимальна нормальна в   підгрупа з  , для всіх членів ряду.

Гомоморфізм групвідображення груп   таке, що

 
для довільних a і b в G.

Група Шмідта — це ненільпотентна група, всі власні підгрупи якої нільпотентні.

Група Міллера — Морено — це неабелева група, всі власні підгрупи якої абелеві.

Групова алгебра групи G над полем K — це векторний простір над K, твірними якого є елементи G, а множення відповідає множенню елементів G.

ДРедагувати

Дія групи

Довжина ряду підгруп — число   у визначенні ряду підгруп.

ІРедагувати

Ізоморфізм групбієктивний гомоморфізм.

Ізоморфні групи — групи, між якими існує хоча б один ізоморфізм.

Індекс підгрупи H у групі G — число суміжних класів в кожному (правому або лівому) з розкладів групи G за цією підгрупою H.

Індекси ряду підгруп — індекси   у визначенні субнормального ряду підгруп.

КРедагувати

Клас суміжності/суміжний клас (лівий або правий) підгрупи H в G. Лівий клас суміжності елемента   по підгрупі H в G це множина

 

Аналогічно визначається правий клас суміжності:

 

Клас спряженості елемента   це множина

 

Комутантом групи є підгрупа, породжена всіма комутаторами групи, зазвичай позначається [G, G] або  .

Комутативна група Група G є комутативною, або абелевою, якщо її операція * комутативна, тобто g*h=h*g  .

Комутатор елементів g і h є елемент [g, h] = ghg​​-1h-1. Елементи g і h називають комутуючими, якщо їх комутатор дорівнює одиничному елементу групи (таке відбувається коли  ).

Комутатор підгруп — множина всіляких добутків  .

Композиційний ряд групиG-ряд підгруп, в якому всі фактори  прості групи.


Кручення, TorG, комутативної або нільпотентної групи G — підгрупа всіх елементів скінченного порядку.

ЛРедагувати

Локальна властивість групи  . Кажуть, що група   має локальним властивістю  , якщо будь-яка звичайно породжена підгрупа з   володіє цією властивістю. Прикладами можуть служити локальна кінцівку, локальна нільпотентності.

Локальна теорема. Кажуть, що для деякої властивості   груп справедлива локальна теорема, якщо будь-яка група,локально володіє цією властивістю, сама має їм.

Наприклад: локально абелева група є абелевої, але локально кінцева група може бути нескінченною.

МРедагувати

Метабелева група — група, другий комутант якої тривіальний (розв'язна степеня 2).

Метациклчіна група — група, що має циклічну нормальну підгрупу, факторгрупа по якій також циклічна. Будь-яка скінченна група, порядок якої вільний від квадратів (тобто не ділиться на квадрат будь-якого числа), є метациклічною.

Мінімальна нормальна підгрупа

Мультиплікативна група тіла — група, елементами якої є всі ненульові елементи даного тіла, а операція збігається з операцією множення в тілі.

НРедагувати

Напівпрямий добуток груп G і H над гомоморфізмом   (позначається по різному, в тому числі G φ H) — множина G × H, наділена операцією *, для якої   для будь-яких  ,  .

Нільпотентна група — група, що має центральний ряд підгруп. Мінімальна з довжин таких рядів називається її класом нільпотентності.

Норма групи — сукупність елементів групи, переставних з усіма підгрупами, тобто перетин' 'нормалізаторів всіх її підгруп.

Нормалізатор підгрупи H в G — максимальна підгрупа G, в якій H нормальна. Інакше кажучи, нормалізатор є стабілізатором Hпри дії G на множині своїх підгруп спряженнями, тобто

 

Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа, нормальний дільник). H є нормальною підгрупою G, якщо для будь-якого елементу g в G gH=Hg, тобто праві і ліві класи суміжності H в G збігаються. Інакше кажучи, якщо  .

Нормальний ряд підгрупряд підгруп, в якому   нормальна в  , для всіх членів ряду.

ПРедагувати

Переставні елементи — пара елементів   такі що  .

Період групи — найменше спільне кратне порядків елементів даної групи.

Періодична група — група, кожен елемент якої має скінченний порядок.

Підгрупа — підмножина H групи G, яка є групою щодо операції, визначеної в G.

Підгрупа кручення див. кручення.

Для довільної підмножини S в G, <S> позначає найменшу підгрупу G, яка містить S.

Підгрупа Томпсона   групи   — підгрупа, породжена всіма абелевих підгрупами максимального порядку з  .

Підгрупа Фіттінга   групи   — підгрупа, породжена всіма нільпотентними нормальними підгрупами з  .

Підгрупа Фраттіні   групи   — є перетин всіх максимальних підгруп групи  , якщо такі є, та сама група   у противному випадку.

Полінільпотентна група

Порядок групи (G,*) — потужність G (для скінченних груп просто кількість елементів).

Порядок елемента g групи G — мінімальне натуральне число m таке, що gm = e. У разі, якщо такого m не існує, вважається, що g має нескінченний порядок.

Природний гомоморфізм на фактор-групу за нормальною підгрупою   — це гомоморфізм, що ставить у відповідність кожному елементу   групи суміжний клас  . Ядром цього гомоморфізму є підгрупа  .

Примарна група — група, всі елементи в якій мають порядок, рівний деякому степеню простого числа   (не обов'язково однакового для всіх елементів). Також говорять про p-групи.

Проста група — група, в якій немає нормальних підгруп, крім тривіальної {e} і всієї групи.

Прямий добуток двох груп (G,·) і (H, •) — множина G×H пар, з операцією покомпонентного множення: (g1,h1)(g2,h2) = (g1 · g2, h 1h2).

РРедагувати

Розширення групи — група, для якої дана група є нормальною підгрупою.

Розв'язна група — група, що володіє нормальним рядом підгруп з абелевими факторами. Найменша з довжин таких рядів називається її степенем розв'язності.

Розв'язний радикал   групи   — підгрупа, породжена всіма розв'язними нормальними підгрупами з  .

Ряд підгруп — скінченна послідовність підгруп   називається рядом підгруп, якщо  , для всіх  . Такий ряд записують у вигляді

 

або у вигляді

 

Регулярна p-група — скінченна p-група, для будь-якої пари елементів   і   якої знайдеться елемент   коммутанта підгрупи, породженої цими елементами, такий, що  .

СРедагувати

Надрозв'язна група — група, що має нормальний ряд підгруп з циклічними'факторами.

Скінченна група - група зі скінченним числом елементів.

Скінченна p-групаp-група скінченного порядку  .

Скінченно задана група (або скінченно певна група) — група, що має скінченну кількість породжуючихі задається за допомогою скінченної кількості співвідношень.

Скінченнопороджена абелева група — абелева група, що має скінченну систему утворюють .

Скінченнопородженої група - група, що має кінцевою системою породжуючих .

Підгрупа Силова -підгрупа в  , що має порядок  , де  , НОД  .

Співвідношення — тотожність, якій задовольняють породжуючі групи (при завданні групи утворюють і співвідношеннями).

Стабілізатор елемента   множини  , на якій діє група   - підгрупа  , всі елементи якої залишають   на місці:  .

Субнормальний ряд підгрупряд підгруп, в якому підгрупа   нормальна у підгрупі  , для всіх членів ряду.

ФРедагувати

Факторгрупою групиG по нормальній підгрупі H є множина класів суміжності підгрупи H з множенням, визначеним наступним чином:

 

Фактори субнормального ряду - фактор-групи   у визначеннісубнормального ряду підгруп.

ХРедагувати

Характеристична підгрупа — підгрупа, інваріантна щодо всіх автоморфізмів групи.

Підгрупа Халловея — підгрупа, порядок якої взаємно простий з її індексом у всій групі.

ЦРедагувати

Центр групи G, зазвичай позначається Z(G), визначається як

 ,

інакше кажучи, це максимальна підгрупа елементів, комутуючих з кожним елементом G.

Централізатор елемента — максимальна підгрупа, кожен елемент якої комутує з цим елементом.

Центральний ряд підгрупнормальний ряд підгруп, в якому  , для всіх членів ряду.

Циклічна група — група, що складається з породжуючого елемента і всіх його цілих степенів. Скінченна у разі, якщо порядок породжуючого елемента скінченний.

ЕРедагувати

Експонента   скінченної групи   — числова характеристика групи, рівна найменшому спільному кратному порядків всіх елементів групи  .

ЯРедагувати

Ядро гомоморфізму — прообраз нейтрального елемента при гомоморфізмі. Ядро завжди є нормальною підгрупою, більше того, будь-яка нормальна підгрупа є ядром ​​деякого гомоморфізму.

ДжерелаРедагувати