Словник термінів теорії груп

Для загального ознайомлення з теорією груп див. Група (математика) і Теорія груп.

Курсив позначає посилання на цей словник.

P

P-група — група, всі елементи якої мають порядок, рівний деякому степеню простого числа $p$ (не обов'язково однаковому в усіх елементів). Також говорять про примарну групу.

А

Абелева група — комутативна група.

Абелізація групи G — фактор-група G/[G,G]

Адитивна група кільця — група, елементами якої є всі елементи даного кільця, а операція збігається з операцією додавання в кільці.

Антигомоморфізм груп — відображення груп $f:(G,*)\to (H,\times )$ таке, що

$f(a*b)=f(b)\times f(a)$

для довільних a і b в G (порівняйте з гомоморфізмом).

Абсолютно регулярна p-група — скінченна p-група, в якій $|G\,:\,pG|<p^{p}$, де $pG$ — підгрупа $G$, утворена p-ми степенями її елементів.

В

Вільна група, породжена множиною $A$ — група, породжена елементами цієї множини, що не має жодних співвідношень, крім співвідношень, що визначають групу. Всі вільні групи, породжені равнопотужними множинами, ізоморфні.

Г

Головний ряд підгруп - ряд підгруп, в якому $G_{i}$ — максимальна нормальна в $G$ підгрупа з $G_{i+1}$, для всіх членів ряду.

Гомоморфізм груп — відображення груп $f:(G,*)\to (H,\times )$ таке, що

$F(a*b)=f(a)\times f(b)$

для довільних a і b в G.

Група Шмідта — це ненільпотентна група, всі власні підгрупи якої нільпотентні.

Група Міллера — Морено — це неабелева група, всі власні підгрупи якої абелеві.

Групова алгебра групи G над полем K — це векторний простір над K, твірними якого є елементи G, а множення відповідає множенню елементів G.

Д

Дія групи

Довжина ряду підгруп — число $n$ у визначенні ряду підгруп.

Е

Експонента $\exp(G)$ скінченної групи $G$ — числова характеристика групи, рівна найменшому спільному кратному порядків всіх елементів групи $G$.

Елементарна група - група, яка є скінченною або абелевою, або одержується зі скінченних та абелевих груп послідовністю операцій взяття підгруп, епіморфних образів, прямих меж і розширень.

І

Ізоморфізм груп — бієктивний гомоморфізм.

Ізоморфні групи — групи, між якими існує хоча б один ізоморфізм.

Індекс підгрупи H у групі G — число суміжних класів в кожному (правому або лівому) з розкладів групи G за цією підгрупою H.

Індекси ряду підгруп — індекси $|G_{i+1}:G_{i}|$ у визначенні субнормального ряду підгруп.

К

Клас суміжності/суміжний клас (лівий або правий) підгрупи H в G. Лівий клас суміжності елемента $g\in G$ по підгрупі H в G це множина

$gH=\{gh|h\in H\}.$

Аналогічно визначається правий клас суміжності:

$Hg=\{hg|h\in H\}.$

Клас спряженості елемента $g\in G$ це множина

$\{hgh^{-1}|h\in G\}.$

Комутантом групи є підгрупа, породжена всіма комутаторами групи, зазвичай позначається [G, G] або $G\;'$.

Комутативна група Група G є комутативною, або абелевою, якщо її операція * комутативна, тобто g*h=h*g $\forall g,h\in G$.

Комутатор елементів g і h є елемент [g, h] = ghg​​^-1h^-1. Елементи g і h називають комутуючими, якщо їх комутатор дорівнює одиничному елементу групи (таке відбувається коли $gh=hg$).

Комутатор підгруп — множина всіляких добутків $\left\lbrace [g,h]|g\in G,h\in H\right\rbrace$.

Композиційний ряд групиG-ряд підгруп, в якому всі фактори $G_{i+1}/G_{i}$ —прості групи.

Кручення, TorG, комутативної або нільпотентної групи G — підгрупа всіх елементів скінченного порядку.

Л

Локальна властивість групи $G$. Кажуть, що група $G$ має локальним властивістю $P$, якщо будь-яка звичайно породжена підгрупа з $G$ володіє цією властивістю. Прикладами можуть служити локальна кінцівку, локальна нільпотентності.

Локальна теорема. Кажуть, що для деякої властивості $P$ груп справедлива локальна теорема, якщо будь-яка група,локально володіє цією властивістю, сама має їм.

Наприклад: локально абелева група є абелевої, але локально кінцева група може бути нескінченною.

Локально скінченна група — група, яка певним чином (як індуктивна границя) будується зі скінченних груп.

М

Метабелева група — група, другий комутант якої тривіальний (розв'язна степеня 2).

Метациклчіна група — група, що має циклічну нормальну підгрупу, факторгрупа по якій також циклічна. Будь-яка скінченна група, порядок якої вільний від квадратів (тобто не ділиться на квадрат будь-якого числа), є метациклічною.

Мінімальна нормальна підгрупа

Мультиплікативна група тіла — група, елементами якої є всі ненульові елементи даного тіла, а операція збігається з операцією множення в тілі.

Н

Напівпрямий добуток груп G і H над гомоморфізмом $\phi :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(H)$ (позначається по різному, в тому числі G⋊ _φ H) — множина G × H, наділена операцією *, для якої $(g_{1},h_{1})*(g_{2},h_{2})=(g_{1}\phi (h_{1})(g_{2}),h_{1}h_{2})$ для будь-яких $g_{1},g_{2}\in G$, $h_{1},h_{2}\in H$.

Нільпотентна група — група, що має центральний ряд підгруп. Мінімальна з довжин таких рядів називається її класом нільпотентності.

Норма групи — сукупність елементів групи, переставних з усіма підгрупами, тобто перетин нормалізаторів всіх її підгруп.

Нормалізатор підгрупи H в G — максимальна підгрупа G, в якій H нормальна. Інакше кажучи, нормалізатор є стабілізатором H при дії G на множині своїх підгруп спряженнями, тобто

$N(H)=\{g\in G|gHg^{-1}=H\}.$

Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа, нормальний дільник). H є нормальною підгрупою G, якщо для будь-якого елементу g в G gH=Hg, тобто праві і ліві класи суміжності H в G збігаються. Інакше кажучи, якщо $\forall g\in G\quad \forall h\in H\quad ghg^{-1}\in H$.

Нормальний ряд підгруп — ряд підгруп, в якому $G_{i}$ нормальна в $G$, для всіх членів ряду.

П

Переставні елементи — пара елементів $a,b\in G$ такі що $ab=ba$.

Період групи — найменше спільне кратне порядків елементів даної групи.

Періодична група — група, кожен елемент якої має скінченний порядок.

Підгрупа — підмножина H групи G, яка є групою щодо операції, визначеної в G.

Підгрупа кручення див. кручення.

Для довільної підмножини S в G, <S> позначає найменшу підгрупу G, яка містить S.

Підгрупа Томпсона $J(G)$ групи $G$ — підгрупа, породжена всіма абелевих підгрупами максимального порядку з $G$.

Підгрупа Фіттінга $F(G)$ групи $G$ — підгрупа, породжена всіма нільпотентними нормальними підгрупами з $G$.

Підгрупа Фраттіні $\phi (G)$ групи $G$ — є перетин всіх максимальних підгруп групи $G$, якщо такі є, та сама група $G$ у противному випадку.

Полінільпотентна група

Порядок групи (G,*) — потужність G (для скінченних груп просто кількість елементів).

Порядок елемента g групи G — мінімальне натуральне число m таке, що g^m = e. У разі, якщо такого m не існує, вважається, що g має нескінченний порядок.

Природний гомоморфізм на фактор-групу за нормальною підгрупою $H$ — це гомоморфізм, що ставить у відповідність кожному елементу $a$ групи суміжний клас $aH$. Ядром цього гомоморфізму є підгрупа $H$.

Примарна група — група, всі елементи в якій мають порядок, рівний деякому степеню простого числа $p$ (не обов'язково однакового для всіх елементів). Також говорять про p-групи.

• Примарна абелева група

Проста група — група, в якій немає нормальних підгруп, крім тривіальної {e} і всієї групи.

Прямий добуток двох груп (G,·) і (H, •) — множина G×H пар, з операцією покомпонентного множення: (g₁,h₁)(g₂,h₂) = (g₁ · g₂, h ₁ •h₂).

Р

Розширення групи — група, для якої дана група є нормальною підгрупою.

Розв'язна група — група, що володіє нормальним рядом підгруп з абелевими факторами. Найменша з довжин таких рядів називається її степенем розв'язності.

Розв'язний радикал $S(G)$ групи $G$ — підгрупа, породжена всіма розв'язними нормальними підгрупами з $G$.

Ряд підгруп — скінченна послідовність підгруп $G_{0},G_{1},...,G_{n}$ називається рядом підгруп, якщо $G_{i}\leq G_{i+1}$, для всіх $i\in \left\{0,...,n-1\right\},~G_{0}=1,~G_{n}=G$. Такий ряд записують у вигляді

$1=G_{0}\leq G_{1}\leq \dots \leq G_{n}=G$

або у вигляді

$G=G_{n}\geq G_{n-1}\geq \dots \geq G_{0}=1$

Регулярна p-група — скінченна p-група, для будь-якої пари елементів $x$ і $y$ якої знайдеться елемент $u$ коммутанта підгрупи, породженої цими елементами, такий, що $(xy)^{p}=x^{p}y^{p}u^{p}$.

С

Надрозв'язна група — група, що має нормальний ряд підгруп з циклічними'факторами.

Скінченна група - група зі скінченним числом елементів.

Скінченна p-група —p-група скінченного порядку $p^{n}$.

Скінченно задана група (або скінченно певна група) — група, що має скінченну кількість породжуючихі задається за допомогою скінченної кількості співвідношень.

Скінченнопороджена абелева група — абелева група, що має скінченну систему утворюють .

Скінченнопороджена група - група, що має скінченну систему породжувальних.

Підгрупа Силова — $p$-підгрупа в $G$, що має порядок $p^{n}$, де $|G|=p^{n}s$, НОД $(p,s)=1$.

Співвідношення — тотожність, якій задовольняють породжуючі групи (при завданні групи утворюють і співвідношеннями).

Стабілізатор елемента $p$ множини $M$, на якій діє група $G$ - підгрупа $St_{G}(p)\subset G$, всі елементи якої залишають $p$ на місці: $g\cdot p=p$.

Субнормальний ряд підгруп — ряд підгруп, в якому підгрупа $G_{i}$ нормальна у підгрупі $G_{i+1}$, для всіх членів ряду.

Ф

Факторгрупою групиG по нормальній підгрупі H є множина класів суміжності підгрупи H з множенням, визначеним наступним чином:

$(aH)*(bH)=(ab)H.$

Фактори субнормального ряду - фактор-групи $G_{i+1}/G_{i}$ у визначеннісубнормального ряду підгруп.

Х

Характеристична підгрупа — підгрупа, інваріантна щодо всіх автоморфізмів групи.

Підгрупа Халловея — підгрупа, порядок якої взаємно простий з її індексом у всій групі.

Ц

Центр групи G, зазвичай позначається Z(G), визначається як

$Z(G)=\{g\in G|gh=hg\ \forall h\in G\}$,

інакше кажучи, це максимальна підгрупа елементів, комутуючих з кожним елементом G.

Централізатор елемента — максимальна підгрупа, кожен елемент якої комутує з цим елементом.

Центральний ряд підгруп — нормальний ряд підгруп, в якому $G_{i+1}/G_{i}\subseteq Z(G/G_{i})$, для всіх членів ряду.

Циклічна група — група, що складається з породжуючого елемента і всіх його цілих степенів. Скінченна у разі, якщо порядок породжуючого елемента скінченний.

Я

Ядро гомоморфізму — прообраз нейтрального елемента при гомоморфізмі. Ядро завжди є нормальною підгрупою, більше того, будь-яка нормальна підгрупа є ядром ​​деякого гомоморфізму.

Джерела

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)