Асимптотична крива

Асимптотична крива або асимптотична лінія — лінія на поверхні, яка в кожній точці дотична асимптотичного напрямку, тобто такого напрямку, в якому нормальний переріз поверхні має нульову кривину.

Наприклад, на поверхні другого порядку асимптотичні лінії — тільки прямолінійні твірні.

На довільній поверхні асимптотична крива $\gamma =\gamma (t)$ визначається диференціальним рівнянням

$\mathrm {I\!I} _{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=0,$ де $\mathrm {I\!I}$ — друга квадратична форма поверхні.

Три типи точок поверхні

Точки, в яких гаусова кривина $K<0$, називаються гіперболічними (прикладом поверхні всі точки якої — гіперболічні, є однопорожнинний гіперболоїд або гіперболічний параболоїд); точки, в яких гаусова кривина $K>0$, називаються еліптичними (прикладом поверхні всі точки якої — еліптичні є еліпсоїд або двопорожнинний гіперболоїд); точки, в яких гаусова кривина $K=0$, але середня кривина $H\neq 0$, називаються параболічними (прикладом поверхні всі точки якої — параболічні, є конус або циліндр).

Параболічні точки, як правило, утворюють криву, що розділяє поверхню на еліптичну і гіперболічну області.

В області еліптичних точок асимптотичних ліній немає.

В області гіперболічних точок є рівно дві групи асимптотичних ліній, що складають так звану асимптотичну мережу: через кожну гіперболічну точку проходить по одній лінії кожної групи, кут їх перетину відмінний від нуля.

В параболічних точках асимптотичні лінії мають, як правило, касп і мають вигляд напівкубічної параболи, що лежить (за виключенням самої точки) в гіперболічній області, що примикає до параболічної лінії.

Властивості

• Стична площина асимптотичної кривої $\gamma$ (там, де вона існує) збігається з дотичною площиною до поверхні F в тій же точці.
• Квадрат скруту асимптотичної кривої (там, де його визначено) дорівнює модулю гаусової кривини поверхні $F$ (теорема Бельтрамі — Еннепера).
• Прямолінійний відрізок на поверхні $F$ завжди є асимптотичною кривою. Зокрема асимптотичними кривими є прямолінійні твірні поверхні.
• На поверхнях сталої від'ємної кривини асимптотична мережа є мережею Чебишева, зокрема площа чотирикутника, утвореного асимптотичними кривими, пропорційна перевищенню суми його внутрішніх кутів над $2\pi$ (формула Хацидакіса).
• На мінімальний поверхні асимптотична мережа є ортогональною мережею.
• При проективному перетворенні $\pi$ простору асимптотичні криві поверхні $F$ переходять в асимптотичні криві поверхні $\pi (F)$.

Рівняння для графіка функції

Нехай в евклідовому просторі з координатами $x,y,z$ і метрикою $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ поверхня задана у вигляді графіка функції $z=f(x,y)$. Тоді в координатах $x,y$ асимптотичні лінії поверхні задаються диференціальним рівнянням $f_{yy}\,dy^{2}+2f_{xy}\,dxdy+f_{xx}\,dx^{2}=0.$

Ввівши позначення $p=dy/dx$, його можна переписати у вигляді $f_{yy}p^{2}+2f_{xy}p+f_{xx}=0.$

Дискримінант $\Delta =f_{xy}^{2}-f_{xx}f_{yy}$ який стоїть у лівій частині квадратного тричлена (відносно змінної $p$) збігається з гессіаном функції $f(x,y)$, взятим із оберненим знаком, і рівняння $\Delta =0$ задає на площині $(x,y)$ криву, що складається із параболічних точок поверхні (за умови, якщо один із коефіцієнтів $f_{xx}$ або $f_{yy}$ відмінний від нуля), яка так само є дискримінантою кривої даного диференціального рівняння, не розв'язного щодо похідної. У типовому випадку майже у всіх параболічних точках це рівняння має нормальну форму Чибраріо, виняток становлять лише точки, що лежать на дискримінантній кривій дискретно, в них нормальна форма рівняння більш складна. Ще більш складну нормальну форму рівняння асимптотичних ліній має в точках, де всі три коефіцієнти $f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yy}$ перетворюються в нуль одночасно, — це так звані плоскі омбіліки, в яких $H=K=0$, тобто всі нормальні перетини поверхні мають нульову кривину.

Приклади

• Всі точки однопорожнинного гіперболоїда $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ належать до гіперболічного типу. Рівняння асимптотичних ліній в цьому випадку приймає вигляд $(x^{2}-1)p^{2}-2xyp+y^{2}-1=0$, де $p=dy/dx$. Як легко перевірити, загальний розв'язок цього рівняння задається формулою $y=ax+b$, де параметри $a$ і $b$ задовольняють співвідношення $b^{2}-a^{2}=1$. Таким чином ми отримуємо дві сім'ї (що відповідають різним знакам $\pm$ у формулі $b=\pm {\sqrt {a^{2}+1}}$) асимптотичних ліній однопорожнинного гіперболоїда, що збігаються з його прямолінійними твірними.

• Асимптотичні лінії конуса $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$ так само збігаються з його прямолінійними твірними. Так як всі точки конуса параболічні, то ми маємо одну сім'ю асимптотичних ліній.

• У випадку поверхні заданої рівнянням $z=y^{2}+x^{2}y+ax^{4}$, маємо $\Delta =(1-6a)x^{2}-y$. Лінія параболічних точок ($y=(1-6a)x^{2}$) ділить поверхню на еліптичну ($y>(1-6a)x^{2}$) і гіперболічну ($y<(1-6a)x^{2}$) області. В останній розташовані дві сім'ї асимптотичних ліній. У всіх параболічних точках, за винятком початку координат ($x=y=0$), рівняння асимптотичних ліній має нормальну форму Чибраріо, отже асимптотичні лінії в околі цих точок мають вигляд напівкубічних парабол. На початку координат мережа асимптотичних ліній має більш складну особливість, характер якої залежить від параметра $a$.

• Асимптотичними кривими на торі, заданому параметрично у вигляді:

  $\left\{{\begin{matrix}x(\phi ,\psi )=&(R+r\cos \phi )\cos \psi \\y(\phi ,\psi )=&(R+r\cos \phi )\sin \psi \\z(\phi ,\psi )=&r\sin \phi \\\end{matrix}}\right.\qquad \phi ,\psi \in [0,2\pi ),$

є два паралелі $z=\pm r$, що розділяють гіперболічні і еліптичні області і повністю складаються з параболічних точок .

• Асимптотичною кривою є ребро повернення на псевдосфері.

Див. також

• Асимптотична рівність

Література

• Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — С. 41-46. — ISBN 5-7768-0388-8. Архівовано з джерела 23 січня 2022
• Погорєлов О. В. [1] — М. : Наука, 1974. — 184 с. — ISBN 5-93972-068-4. Архівовано з джерела 6 жовтня 2014
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии.
• Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии.
• Фиников С. П. Теория поверхностей.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии.
• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.