Теорема Бельтрамі — Еннепера

Теорема Бельтрамі — Еннепера — теорема про властивості асимптотичних ліній регулярних поверхонь.

Теорема доведена незалежно один від одного Еудженіо Бельтрамі у 1866 році у і Альфредом Еннепером у 1870 році.

Твердження теоремиРедагувати

Якщо кривина асимптотичної лінії в заданій точці не є рівною нулю то квадрат скруту цієї лінії дорівнює кривині поверхні у цій точці зі знаком мінус.

Для асимптотичної кривої, якщо визначена дотична площина, то вона збігається з дотичною площиною до поверхні. Тому замість квадрата скруту потрібно взяти квадрат швидкості обертання дотичної площини в цій точці при зміщенні по асимптотичній кривій. Це переформулювання є корисним коли кривина асимптотичної лінії в точці дорівнює нулю і отже дотична площина є невизначеною.

ДоведенняРедагувати

Нехай  асимптотична крива на регулярній поверхні S. Оскільки за означенням нормальна кривина у напрямку   є рівною нулю і   є ненульовим вектором (оскільки кривина є ненульовою), то з означень нормальної кривини і теореми Меньє випливає, що вектор   є ортогональним до N (нормалі до поверхні). Тоді також   де   позначає бінормаль у точках кривої. Тоді за означенням  

Останній вираз можна переписати через відображення Вейнгартена як   де   — третя фундаментальна форма і використана самоспряженість оператора Вейнгартена.

Три фундаментальні форми задовольняють рівність   З означення асимптотичної кривої   також   оскільки крива задана натуральною параметризацією.

Об'єднуючи всі рівності, маємо  

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Toponogov, Victor A. (2005). Differential Geometry of Curves and Surfaces: A Concise Guide. Birkhauser. ISBN 0-8176-4384-2.