Теорема Бельтрамі — Еннепера

Теорема Бельтрамі — Еннепера — теорема про властивості асимптотичних ліній регулярних поверхонь.

Теорема доведена незалежно один від одного Еудженіо Бельтрамі у 1866 році у і Альфредом Еннепером у 1870 році.

Твердження теореми

Якщо кривина асимптотичної лінії в заданій точці не є рівною нулю то квадрат скруту цієї лінії дорівнює кривині поверхні у цій точці зі знаком мінус.

Для асимптотичної кривої, якщо визначена дотична площина, то вона збігається з дотичною площиною до поверхні. Тому замість квадрата скруту потрібно взяти квадрат швидкості обертання дотичної площини в цій точці при зміщенні по асимптотичній кривій. Це переформулювання є корисним коли кривина асимптотичної лінії в точці дорівнює нулю і отже дотична площина є невизначеною.

Доведення

Нехай $\gamma (s)$ — асимптотична крива на регулярній поверхні S. Оскільки за означенням нормальна кривина у напрямку $\gamma '(s)$ є рівною нулю і $\gamma ''(s)$ є ненульовим вектором (оскільки кривина є ненульовою), то з означень нормальної кривини і теореми Меньє випливає, що вектор $\gamma ''(s)$ є ортогональним до N (нормалі до поверхні). Тоді також $N(s)=\pm b(s)$ де $b(s)$ позначає бінормаль у точках кривої. Тоді за означенням $\tau ^{2}=|b'(s)|^{2}=|N'(s)|^{2}=|N'(\gamma (s))|^{2}.$

Останній вираз можна переписати через відображення Вейнгартена як $|N'(\gamma (s))|^{2}=(dN(\gamma '(s)),dN(\gamma '(s)))=((dN)^{2}(\gamma '(s)),\gamma '(s))=III(\gamma '(s)),$ де $III(\gamma '(s))$ — третя фундаментальна форма і використана самоспряженість оператора Вейнгартена.

Три фундаментальні форми задовольняють рівність $III(\gamma '(s))=-K\cdot I(\gamma '(s))+2H\cdot II(\gamma '(s)).$ З означення асимптотичної кривої $II(\gamma '(s))=0,$ також $I(\gamma '(s))=1$ оскільки крива задана натуральною параметризацією.

Об'єднуючи всі рівності, маємо $\tau ^{2}=III(\gamma '(s))=-K.$

Див. також

Література

Toponogov, Victor A. (2005), Differential Geometry of Curves and Surfaces: A Concise Guide, Birkhauser, ISBN 0-8176-4384-2