Теорема Меньє

У диференційній геометрії теоремою Меньє називається твердження про властивості кривини на поверхні, яке було доведено у 1776 році (опубліковано 1785 році) французьким вченим Жаном Батістом Меньє.

Необхідні означення

Нехай $S\subset \mathbb {R} ^{3}$ — регулярна поверхня у тривимірному евклідовому просторі і $\alpha (t):(-\varepsilon ,\varepsilon )\to S$ — регулярна крива, образ якої належить поверхні S і $\alpha (0)=p\in S.$ Нехай крива параметризується своєю довжиною. Тоді $|\alpha '(t)|=1$ в усіх точках кривої. Якщо $|\alpha ''(0)|\neq 0$ то вектор $n={\frac {\alpha ''(0)}{|\alpha ''(0)|}}$ називається одиничною нормаллю, а $k=|\alpha ''(t)|$ — кривиною кривої $\alpha (t)$ у точці p. Також нехай N позначає одиничний нормальний вектор до площини S у точці p (тобто одиничний вектор, що є ортогональним до дотичної площини поверхні у даній точці із певним вибором напрямку).

Нормальною кривиною $k_{n}$ кривої $\alpha (t)$ у точці $\alpha (0)=p$ у цьому випадку називається довжина ортогональної проєкції $\alpha ''(0)$ на пряму задану вектором N. Якщо кривина прямої у точці рівна нулю, то і її нормальна кривина рівна нулю.

Якщо $\phi$ — кут між векторами N і n то можна явно записати $k_{n}=k\operatorname {cos} \phi$ або через скалярний добуток $k_{n}=(N,\alpha ''(0)).$

Теорема Меньє

Теорема Меньє стверджує, що нормальна кривина кривої $\alpha (t):(-\varepsilon ,\varepsilon )\to S$ у точці $\alpha (0)=p\in S$ залежить лише від напрямку дотичного вектора $\alpha '(t)$ у цій точці. Тобто якщо дві регулярні криві (параметризовані своїми довжинами) мають однаковий дотичний вектор у точці p, то і їх нормальні криві у цій точці будуть однаковими.

Доведення

Нехай N(t) — одиничні нормалі до поверхні S у точках $\alpha (t).$ Згідно означення нормальні кривини у точках прямої тоді є рівними $(N(t),\alpha ''(t)).$ За означеннями $(N(t),\alpha '(t))=0$ і продиференціювавши цю рівність отримуємо $k_{n}=(N(0),\alpha ''(0))=-(N'(0),\alpha '(0))=(dN_{p}(\alpha '(0)),\alpha '(0))$ де $dN_{p}$ — диференціал у точці p нормального відображення із поверхні S на одиничну сферу, що кожній точці поверхні співставляє одиничну нормаль у цій точці. При означенні $dN_{p}$ дотичні поверхні до S і у відповідній точці сфери ототожнюються (загалом вони є паралельними). Таким чином нормальна кривина залежить тільки від $\alpha '(0).$

Наслідки

• З теореми Меньє випливає, що поняття нормальної кривини має значення для одиничних векторів на дотичній площині $T_{p}S.$ Кожен такий вектор x, разом із нормаллю N задає деяку площину перетин якої із S утворює регулярну криву $\gamma$ для якої (при параметризації довжиною) x є дотичним вектором і кривина якої у точці p є рівною нормальній кривині. Крива $\gamma$ називається нормальним перетином поверхні S із дотичним вектором x.

• З теореми Меньє також випливає те, що для регулярної кривої $\alpha (t):(-\varepsilon ,\varepsilon )\to S$ із дотичним вектором x у точці p кривина залежить тільки від нормалі до прямої оскільки нормаль до поверхні і нормальна кривина у цьому випадку задані однозначно. Зокрема нормальну кривину можна однозначно визначити як звичайну кривину нормального перерізу.

• Для нормального перетину $\gamma$із дотичним вектором x центром стичного кола є точка $p+(1/k_{n})N$ і його радіус очевидно є рівним $1/k_{n}.$Для довільної іншої кривої у S із дотичним вектором x у точці p стичне коло у цій точці за означенням належить площині заданій векторами x і n, центром стичного кола є точка $p+(1/k)n$і радіус кола є рівним 1/k. Згідно теореми Меньє кривина кривої визначається лише кутом між N і n і $1/k=1/k_{n}\cos \phi$. Тому радіуси стичних кіл задовольняють співвідношення $R(\phi )=\cos \phi /k_{n}.$ Як наслідок всі такі стичні кола лежать на сфері із центром у точці $p+(1/k_{n})N$і радіусом $1/k_{n}.$

Див. також

• Кривина
• Поверхня
• Стичне коло

Література

• Carmo, Manfredo Perdigão do (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212589-7.
• Porteous, Ian (1994). Geometric Differentiation. Cambridge University Press. ISBN 0-521-39063-X.