Геометричний зміст абсолютного скруту й знака скруту
ред.
Абсолютний скрут кривої в точці
P
{\displaystyle P}
дорівнює кутовій швидкості обертання бінормалі кривої навколо точки
Q
{\displaystyle Q}
, тобто
|
k
2
|
=
lim
Δ
s
→
0
Δ
α
Δ
s
,
{\displaystyle |k_{2}|=\lim _{\Delta s\to 0}{\frac {\Delta \alpha }{\Delta s}},}
де
Δ
α
{\displaystyle \Delta \alpha }
— кут повороту бінормалі, що відповідає приросту довжини дуги
Δ
s
{\displaystyle \Delta s}
. Скрут буде додатнім (від'ємним), якщо при спостереженні з кінця вектора швидкості вектор бінормалі при русі точки по кривій обертається проти (по) годинникової стрілки.
Доведення. Розглянемо властивості вектора
β
¯
{\displaystyle {\bar {\beta }}}
:
β
¯
′
⊥
β
¯
{\displaystyle {\bar {\beta }}'\bot {\bar {\beta }}}
, бо
β
¯
{\displaystyle {\bar {\beta }}}
— одиничний вектор , отже
β
¯
2
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle {\bar {\beta }}^{2}=const}
,
2
β
¯
β
¯
′
=
0
{\displaystyle 2{\bar {\beta }}{\bar {\beta }}'=0}
;
β
¯
′
⊥
τ
¯
{\displaystyle {\bar {\beta }}'\bot {\bar {\tau }}}
(оскільки
β
¯
=
[
τ
¯
,
ν
¯
]
{\displaystyle {\bar {\beta }}=[{\bar {\tau }},{\bar {\nu }}]}
, з першої формули Френе :
d
τ
¯
d
s
=
k
1
ν
¯
{\displaystyle {\frac {d{\bar {\tau }}}{ds}}=k_{1}{\bar {\nu }}}
і
d
β
¯
d
s
=
[
d
τ
¯
d
s
,
ν
¯
]
+
[
τ
¯
,
d
ν
¯
d
s
]
=
[
τ
¯
,
ν
¯
′
]
{\displaystyle {\frac {d{\bar {\beta }}}{ds}}=[{\frac {d{\bar {\tau }}}{ds}},{\bar {\nu }}]+[{\bar {\tau }},{\frac {d{\bar {\nu }}}{ds}}]=[{\bar {\tau }},{\bar {\nu }}']}
); Тут
τ
¯
,
ν
¯
{\displaystyle {\bar {\tau }},{\bar {\nu }}}
познадають відповідно одиничні дотичний і нормальний вектори,
k
1
{\displaystyle k_{1}}
— кривину кривої у відповідній точці.
d
β
¯
d
s
=
−
k
2
ν
¯
{\displaystyle {\frac {d{\bar {\beta }}}{ds}}=-k_{2}{\bar {\nu }}}
(третя формула Френе ).
Таким чином,
|
k
2
|
=
|
d
β
¯
|
|
d
s
|
{\displaystyle |k_{2}|={\frac {|{d{\bar {\beta }}}|}{|ds|}}}
.
Знайдемо тепер
|
d
β
¯
|
|
d
s
|
{\displaystyle {\frac {|{d{\bar {\beta }}}|}{|ds|}}}
,
β
¯
′
=
−
k
2
ν
¯
{\displaystyle {\bar {\beta }}'=-k_{2}{\bar {\nu }}}
,
β
¯
′
⋅
ν
¯
=
−
k
2
ν
¯
2
{\displaystyle {\bar {\beta }}'\cdot {\bar {\nu }}=-k_{2}{\bar {\nu }}^{2}}
або
k
2
=
β
¯
′
⋅
ν
2
{\displaystyle k_{2}={\bar {\beta }}'\cdot {\nu }^{2}}
.
Враховуючи властивість 2 та першу формулу Френе і розглядаючи кривину
k
{\displaystyle k}
як функцію
s
{\displaystyle s}
, маємо:
k
2
=
[
τ
¯
,
ν
¯
′
]
⋅
ν
¯
=
−
[
r
¯
′
,
(
1
k
1
r
¯
″
)
′
]
⋅
1
k
1
r
¯
″
=
−
1
k
1
3
[
r
¯
′
,
r
¯
‴
k
1
−
r
¯
″
k
1
′
]
r
¯
″
=
1
k
1
3
(
[
r
¯
′
,
r
¯
″
]
k
1
′
r
¯
″
−
[
r
¯
′
,
r
¯
‴
]
r
¯
″
k
1
)
=
(
r
¯
′
,
r
¯
″
,
r
¯
‴
)
k
1
2
{\displaystyle k_{2}=[{\bar {\tau }},{\bar {\nu }}']\cdot {\bar {\nu }}=-[{\bar {r}}',({\frac {1}{k_{1}}}{\bar {r}}'')']\cdot {\frac {1}{k_{1}}}{\bar {r}}''=-{\frac {1}{k_{1}^{3}}}[{\bar {r}}',{\bar {r}}'''k_{1}-{\bar {r}}''k_{1}']{\bar {r}}''={\frac {1}{k_{1}^{3}}}([{\bar {r}}',{\bar {r}}'']k_{1}'{\bar {r}}''-[{\bar {r}}',{\bar {r}}''']{\bar {r}}''k_{1})={\frac {({\bar {r}}',{\bar {r}}'',{\bar {r}}''')}{k_{1}^{2}}}}
.
Отже,
|
k
2
|
=
|
(
r
¯
s
′
,
r
¯
s
″
,
r
¯
s
‴
)
|
k
1
2
{\displaystyle |k_{2}|={\frac {|({\bar {r}}'_{s},{\bar {r}}''_{s},{\bar {r}}'''_{s})|}{k_{1}^{2}}}}
Скрут кривої в довільній параметризації
ред.
Нехай
r
¯
=
r
¯
(
t
)
{\displaystyle {\bar {r}}={\bar {r}}(t)}
— регулярна параметризація кривої
γ
{\displaystyle \gamma }
,
r
¯
∈
C
3
{\displaystyle {\bar {r}}\in \mathbb {C} ^{3}}
.
Тоді,
|
k
2
|
=
|
(
r
¯
t
′
,
r
¯
t
″
,
r
¯
t
‴
)
|
[
r
¯
t
′
,
r
¯
t
″
]
2
{\displaystyle |k_{2}|={\frac {|({\bar {r}}'_{t},{\bar {r}}''_{t},{\bar {r}}'''_{t})|}{[{\bar {r}}'_{t},{\bar {r}}''_{t}]^{2}}}}
— абсолютний скрут в довільній параметризації.
Для
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,z)=0}
скрут кривої обчислюється за формулою:
|
k
2
|
=
x
‴
(
y
′
z
″
−
y
″
z
′
)
+
y
‴
(
x
″
z
′
−
x
′
z
″
)
+
z
‴
(
x
′
y
″
−
x
″
y
′
)
(
y
′
z
″
−
y
″
z
′
)
2
+
(
x
″
z
′
−
x
′
z
″
)
2
+
(
x
′
y
″
−
x
″
y
′
)
2
{\displaystyle |k_{2}|={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''(x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^{2}+(x''z'-x'z'')^{2}+(x'y''-x''y')^{2}}}}
.
Якщо скрут кривої дорівнює нулю
|
k
2
|
=
0
{\displaystyle |k_{2}|=0}
, то крива плоска .
Обчислимо скрут гвинтової лінії :
{
x
(
t
)
=
a
⋅
cos
t
,
y
(
t
)
=
a
⋅
sin
t
,
z
(
t
)
=
b
⋅
t
,
{\displaystyle {\begin{cases}x(t)=a\cdot \cos t,\\y(t)=a\cdot \sin t,\\z(t)=b\cdot t,\end{cases}}}
.
Оскільки
r
¯
t
′
=
(
−
a
⋅
sin
t
,
a
⋅
cos
t
,
b
)
;
{\displaystyle {\bar {r}}'_{t}=(-a\cdot \sin t,a\cdot \cos t,b);}
r
¯
t
″
=
(
−
a
⋅
cos
t
,
−
a
⋅
sin
t
,
0
)
;
{\displaystyle {\bar {r}}''_{t}=(-a\cdot \cos t,-a\cdot \sin t,0);}
r
¯
t
‴
=
(
a
⋅
sin
t
,
−
a
⋅
cos
t
,
0
)
,
{\displaystyle {\bar {r}}'''_{t}=(a\cdot \sin t,-a\cdot \cos t,0),}
то
<
r
¯
′
,
r
¯
′
>=
a
2
+
b
2
,
{\displaystyle <{\bar {r}}',{\bar {r}}'>=a^{2}+b^{2},}
<
r
¯
″
,
r
¯
″
>=
a
2
,
{\displaystyle <{\bar {r}}'',{\bar {r}}''>=a^{2},}
<
r
¯
′
,
r
¯
″
>=
0
;
{\displaystyle <{\bar {r}}',{\bar {r}}''>=0;}
[
r
¯
′
,
r
¯
″
]
2
=
r
¯
′
2
r
¯
″
2
−
<
r
¯
′
,
r
¯
″
>
2
=
(
a
2
+
b
2
)
a
2
;
{\displaystyle [{\bar {r}}',{\bar {r}}'']^{2}={\bar {r}}'^{2}{\bar {r}}''^{2}-<{\bar {r}}',{\bar {r}}''>^{2}=(a^{2}+b^{2})a^{2};}
(
r
¯
′
,
r
¯
″
,
r
¯
‴
)
=
b
a
2
.
{\displaystyle ({\bar {r}}',{\bar {r}}'',{\bar {r}}''')=ba^{2}.}
Тоді
k
2
=
−
b
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle k_{2}=-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}