У диференціальній геометрії, скрут кривої (англ. torsion of a curve) — це кількісна міра відхилення кривої від стичної площини. Таким чином, скрут вказує наскільки крива відрізняється від форми плоскої кривої.

Для плоскої кривої скрут дорівнює нулю. Коли скрут кривої є мірою відхилення від площини, то кривина кривої є мірою відхилення від прямої.

Визначення

ред.
 

Нехай   — довільна точка регулярної кривої  ,   — точка кривої, що близька до  . Позначимо через   кут між стичними площинами кривої в точках   та  , а через   — довжину дуги   кривої. Тоді  , якщо він існує, називається абсолютним скрутом кривої   в точці   і позначається через  [1].

Геометричний зміст абсолютного скруту й знака скруту

ред.

Абсолютний скрут кривої в точці   дорівнює кутовій швидкості обертання бінормалі кривої навколо точки  , тобто   де   — кут повороту бінормалі, що відповідає приросту довжини дуги  . Скрут буде додатнім (від'ємним), якщо при спостереженні з кінця вектора швидкості вектор бінормалі при русі точки по кривій обертається проти (по) годинникової стрілки.

Теорема

Нехай   — регулярна крива класу  . Тоді в кожній точці кривої, в якій кривина  , визначений абсолютний скрут  . Якщо   — натуральна параметризація кривої, то

 , 

де  вектор-функція одиничних бінормалей кривої  .


Доведення. Розглянемо властивості вектора  :

  1.  , бо   — одиничний вектор, отже  ,  ;
  2.   (оскільки  , з першої формули Френе:   і  ); Тут   познадають відповідно одиничні дотичний і нормальний вектори,  — кривину кривої у відповідній точці.
  3.   (третя формула Френе).
Таким чином,  .
Знайдемо тепер  ,  ,   або  .

Враховуючи властивість 2 та першу формулу Френе і розглядаючи кривину   як функцію  , маємо:

 .
Отже,  

Скрут кривої в довільній параметризації

ред.

Нехай   — регулярна параметризація кривої  ,  . Тоді,   — абсолютний скрут в довільній параметризації. Для   скрут кривої обчислюється за формулою:

 .

Зауваження

ред.

Якщо скрут кривої дорівнює нулю  , то крива плоска.

Приклад

ред.

Обчислимо скрут гвинтової лінії:  . Оскільки

 
 
 

то

 
 
 
 
 

Тоді

 

Примітки

ред.

Література

ред.