Відкрити головне меню

Інтегра́льна теоре́ма Коші́ — одна з основних теорем аналітичних функцій, сформульована та доведена Оґюстеном-Луї Коші.

Зміст

ФормулюванняРедагувати

Нехай   диференційовна в однозв’язній області   і її похідна неперервна в цій області (у будь-якій точці цієї області). Тоді інтеграл від   по будь-якій замкненій кривій  , яка лежить в області  , дорівнює нулю:

 

ДоведенняРедагувати

Згідно з властивістю інтегралу:

 

Оскільки   має неперервну похідну першого порядку в області  , то частинні похідні від U та V також є неперервними в області  , де виконується умова Коші-Рімана:

 

Тобто

 

З іншого боку, щоб будь-який криволінійний інтеграл дорівнював нулю, необхідно щоб під знаком інтеграла був повний диференціал:

 

   

Тому необхідною умовою неперервності у будь-якій точці є незалежність інтегралу від шляху.

НаслідкиРедагувати

За допомогою теореми Коші доводиться справедливість інтегральної формули Коші та основної теореми про лишки.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.