N-кістяк

N-кістяк у математиці, зокрема в алгебраїчній топології, є топологічним простором X, який представлений у вигляді симпліційного комплексу (відповідно CW-комплексу), який належить до підпростору X_n, що є об'єднанням симплексів X (відповідно клітин X) розмірів m ≤ n. Іншими словами, враховуючи індуктивне визначення комплексу, n-кістяк отримується, зупинкою на n-му кроці.

Ці підпростори збільшуються зі значенням n. 0-кістяк являє собою дискретний простір, а також 1-кістяк топологічного графа. Скелети простору використовуються в теорії обструкцій^[en], для побудови спектральних послідовностей^[en] за допомогою фільтрації, і взагалі для створення індуктивних аргументів. Вони особливо важливі, коли X має нескінченну розмірність в тому сенсі, X_n не стає постійним, коли $n\to \infty$ .

В геометрії ред.

В геометрії, a k-кістяк n-багатогранника P (функціонально представлені у вигляді skel_k(P)) складаються з усіх i-політопів, які мають розмірність не більше k.^[1]

Наприклад:

skel₀(куб) = 8 вершин: skel₁(куб) = 8 вершин, 12 ребер: skel₂(куб) = 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратних граней

Для симпліційних множин ред.

Вищезгадане визначення кістяка симпліційного комплексу — це окремий випадок поняття кістяка симпліційної множини. Коротко кажучи, спрощений набір $K_{*}$ може бути описаний сукупністю множин $K_{i},\ i\geqslant 0$ , разом з гранями і виродження між ними задовольняють ряд рівнянь. Ідея n-кістяку $sk_{n}(K_{*})$ — це спочатку відкинути набори $K_{i}$ із $i>n$ , а потім доповнити колекцію $K_{i}$ із $i\leqslant n$ до «найменшої можливої» симпліційної множини, так що отримана симпліційна множина не містить ніяких вироджених симплексів степені $i>n$ .

Більш точно, обмеження функтора

i_{*}:\Delta ^{op}Sets\rightarrow \Delta _{\leqslant n}^{op}Sets

має лівого спряженого, який позначається як $i^{*}$ .^[2] (Нотації $i^{*},i_{*}$ є порівнянними з функторами зображень для пучків^[en].) n-кістяк симпліційної множини $K_{*}$ визначається як

sk_{n}(K):=i^{*}i_{*}K.

Кокістяк ред.

Крім того, $i_{*}$ має правий спряжений $i^{!}$ . n-кокістяк визначається як

\cos k_{n}(K):=i^{!}i_{*}K.

Наприклад, 0-skeleton K являє собою постійний симпліційну множину, визначену як $K_{0}$ . 0-кокістяк визначається нервом^[en] Чеха

\dots \rightarrow K_{0}\times K_{0}\rightarrow K_{0}.

(Граничний та вироджений морфізми задаються різними проєкціями та діагональними вкладеннями, відповідно.)

Наведені вище конструкції працюють для більш загальних категорій (замість множин), за умови, що у категорії є розшарований добуток. Кокістяк необхідний для визначення поняття гіперпокриття^[en] в гомотопичній алгебрі^[en] і алгебраїчній геометрії.^[3]

Див. також ред.

Геометричний кістяк

Примітки ред.

↑ Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 29)
↑ Goerss, P. G.; Jardine, J. F. (1999), Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics, т. 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, section IV.3.2
↑ Artin, Michael; Mazur, Barry (1969), Etale homotopy, Lecture Notes in Mathematics, No. 100, Berlin, New York: Springer-Verlag

Посилання ред.

Weisstein, Eric W. Skeleton(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

[1] Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 29)

[2] Goerss, P. G.; Jardine, J. F. (1999), Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics, т. 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, section IV.3.2

[3] Artin, Michael; Mazur, Barry (1969), Etale homotopy, Lecture Notes in Mathematics, No. 100, Berlin, New York: Springer-Verlag

[1]

[2]

[3]