Розв'язок, що задовольняє цьому рівнянню, називають адитивними[en] функціями.
З використанням елементарної алгебри можна показати, що в раціональних числах є єдина сім'я розв'язків, а саме , де — довільна раціональна константа. Над полем дійсних чисел, де — довільна дійсна константа, також є сім'єю розв'язків, але можуть бути інші розв'язки, які є надзвичайно складними. Але будь-яка з регулярних умов, деякі з них досить слабкі, виключатиме існування таких особливих розв'язків.
Наприклад, адитивна функція є лінійною, якщо:
неперервна (доведено Коші у 1821 році). Ця умова була ослаблена в 1875 році Дарбу, який показав, що неперервність функції необхідна тільки в одній точці;
З іншого боку, якщо немає ніяких додаткових обмежень на , тоді (за умови аксіоми вибору) є нескінченно багато інших функцій, які задовольняють це рівняння.
П'ята проблема у списку Гільберта є узагальненням цього рівняння. Функції, для яких є дійсне число таке, що , відомі, як функції Коші-Гамеля і використовуються в інваріантах Дена-Хадвігера, які важливі для узагальнення третьої проблеми Гільберта з розмірності три на більш високі розмірності.
Доведемо, що будь-які інші розв'язки повинні бути виродженими[en] функціями. Зокрема, покажемо, що будь-який розв'язок повинно мати властивість, що його графік є щільним в , тобто будь-який окіл (достатньо малий) площини містить, хоч одну точку графіку.
На основі цього легко доводяться різноманітні властивості, що наводилися у вступі.
Не обмежуючи загальності можна припустити, що , і для будь-яких .
Тоді покладемо , .
Покажемо, як знайти точку в довільному околі з центром у точці , радіусом , де , , .
Нехай і виберемо раціональне число близьке до таке, що
Далі вибираємо раціональне число близьке до таке, що
Покладемо
Потім, використовуючи функціональне рівняння, отримуємо
Через наш вибір вище, точка лежить усередині кола.
Існування нелінійних розв'язків над дійсними числами
Доведення лінійності наведене вище також можна застосовувати для функцій , де — масштабована копія раціональних чисел. Це показує, шо допускаються лише лінійні розв'язки, якщо область визначення функції обмежена такими множинами. Отже, у загальному випадку, маємо для всіх , .
Але, як буде показано нижче, виродженні розв'язки можна знайти для функцій , опираючись на ці лінійні розв'язки, розглядаючи дійсні числа, як векторний простір над полем раціональних чисел.
(Насправді, існування базису для кожного векторного простору логічно еквівалентно аксіомі вибору).
Щоби показати, що є інші розв'язки, ніж ті, що визначені , спочатку зазначимо, що оскільки кожен векторний простір має базис, є базис для над полем , тобто набором із властивістю, що будь-який можна виразити однозначно, як де — кінцева підмножина (тобто ), і кожен .
Обмеження на повинно бути лінійною картою для кожного .
До того ж оскільки для , зрозуміло, що — константа пропорційності. Іншими словами, — карта . Оскільки будь-який може бути виражений, як унікальна (кінцева) лінійна комбінація , і є додатковою, визначений для всіх і задається:
.
Неважко перевірити, що — це розв'язки функціонального рівняння Коші, яке дає визначення на основі елементів, . До того ж зрозуміло, що кожні розв'язки має таку форму. Зокрема, розв'язки функціонального рівняння є лінійними тоді й лише тоді, коли є постійною для всіх . Отже, попри неможливість демонструвати нелінійний розв'язок, більшість (у сенсі кардинальності[2]) розв'язків функціонального рівняння Коші насправді нелінійні та патологічні.
Доведемо, що будь-який нелінійний розв'язок повинний бути досить незвичайною функцією — його графік повинен бути \всюди щільний в . Це означає, що будь-яке, як завгодно мале коло на площині містить принаймні одну точку цього графіка. З цього легко виводяться інші властивості, такі, як немонотонність і необмеженість на будь-якому інтервалі.
Поділивши функцію на , можна вважати, що для (Якщо , то для , і міркування, наведені нижче, зберігають свою силу з мінімальними змінами). Якщо функція не лінійна, то . Для деякого : , . Покажемо тепер, як знайти точку графіка в довільному колі з центром у точці , радіуса , де , , .
Нехай і раціональне число, близьке до , отже, щоб
.
Далі виберемо раціональне число , близьке до , так, щоб
.
Покладемо і, використовуючи функціональне рівняння, отримаємо
↑Можна легко показати, що ; Отже, є функції , кожен із яких може бути розширений до унікального розв'язку функціонального рівняння. З іншого боку, є лише лінійні розв'язки.