Теорема Какутані про нерухому точку

Теорема Какутані про нерухому точку — твердження в опуклій геометрії, що є узагальненням теореми Брауера про нерухому точку. Терема має широке застосування в економіці, зокрема у знаменитому доведенні існування рівноваги Неша.

Твердження теоремиРедагувати

Необхідні означенняРедагувати

Багатозначною функцією φ із множини X у множину Y називається функція із X у булеан множини Y, φX → 2Y, для якої також φ(x) є непорожньою множиною для всіх  .

Багатозначна функція φ: X → 2Y називається замкнутою якщо множина {(x,y) | y ∈ φ(x)} є замкнутою підмножиною у X × Y. Іншими словами, якщо для послідовностей   і   для яких  ,   і   для всіх  , також  .

Багатозначна функція φ: X → Y називається напівнеперервною зверху в точці x, якщо для будь-якого околу U множини-образу φ(x) існує окіл V точки x, такий, що   де  . Функція називається напівнеперервною зверху, якщо вона є напівнеперервною зверху в кожній точці. Якщо множина X є компактною то багатозначна функція є замкнутою тоді і тільки тоді коли вона є напівнеперервною зверху і φ(x) є замкнутою множиною для всіх x.

Нехай φ: X → 2X — багатозначна функція. Тоді a ∈ X називається нерухомою точкою функції φ якщо a ∈ φ(a).

ε-сіткою у метричному просторі X називається така підмножина S, що для кожної точки x у X існує точка у S відстань до якої є меншою за ε. Для компактного простору X завжди існує скінченна ε-сітка[1].

Твердження теоремиРедагувати

Нехай X непорожня, компактна і опукла підмножина евклідового простору Rn. Якщо φX → 2X є замкнутою багатозначною функцією на X і для всіх x ∈ X множина φ(x) є непорожньою і опуклою то для функції φ існує нерухома точка.

ДоведенняРедагувати

Оскільки X — компактна множина, то для неї існує скінченна ε-сітка   для будь-якого ε > 0. Виберемо і зафіксуємо довільну точку   в кожній із множин  . Задамо тепер   неперервних на X функцій  , що мають вигляд

 

Ці функції є невід'ємними і окрім того того, їх сума завжди є додатною оскільки з означення ε-сітки для будь-якого x маємо   хоча б для одного i, так що для цього i маємо  . Виходячи з цього, можна побудувати  вагових функцій

 

Користуючись ваговими функціями   визначимо однозначне неперервне відображення   за допомогою формули

 

З умов   і з опуклості множини X випливає, що  . Таким чином, при будь-якому ε > 0 ми маємо однозначне неперервне відображення  . По теоремі Брауера про нерухому точку у цього відображення є нерухома точка  .

Побудуємо такі ж функції і точки для послідовності додатних чисел   для якої   Оскільки множина X є компактною відповідна послідовність нерухомих точок  (для яких   містить підпослідовність, що збігається до деякої границі  . Тому можна вважати, що обрана послідовність   додатних чисел задовольняє умовам

  1.  
  2.  
  3.  

Тоді   є нерухомою точкою відображення f. Для доведення цього розглянемо множину  , де   при  . Якщо при будь-якому   виявиться, що  , то звідси буде випливати, що   через замкнутість множини   в X.

Множина   є відкритою множиною, що містить множину   оскільки вона є об'єднанням відкритих множин   Також вона є опуклою оскільки вона є векторною сумою двох опуклих множин   і  

Відображення f є напівнеперервним зверху і тому з того, що   — відкрита множина, що включає   випливає, що існує ε-окіл Vε точки  , для якого   Зважаючи на властивості послідовності   для досить великих   маємо   і  . При цьому виконання нерівності   означає, що

 

і

 

В результаті при всіх досить великих   маємо   для кожного i для якого   Звідси випливає що

 

Тоді враховуючи що   точка   при досить великих   є опуклою лінійною комбінацією тільки тих точок   які належать   і оскільки множина є опуклою, то   Спрямовуючи   до нескінченності отримуємо, що   Звідси   при будь-якому   і з наведених вище аргументів,  

ПриміткиРедагувати

  1. Твердження про існування скінченної є еквівалентним стандартному означенню компактності для метричних просторів. Див., наприклад Дороговцев Я.В. Математичний аналіз: Підручник: У двох частинах. Частина 2. — К. : Либідь, 1994. — 304 с.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Х. Никайдо, Выпуклые структуры и математическая экономика. — Москва: Мир, 1972.
  • Border, Kim C. (1989). Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory. Cambridge University Press. ISBN 9780521265645.