Теорема Барбашина — Красовського

У теорії звичайних диференціальних рівнянь теоре́ма Барба́шина — Красо́вського (також при́нцип інваріа́нтності ЛаСа́ля; англ. LaSalle's invariance principle) дає достатні умови асимптотичної стійкості нульового розв'язку системи звичайних диференціальних рівнянь.[1] Загальне твердження було незалежно доведене М. М. Красовським[ru][2] та Д. П. ЛаСалєм[3]. В англомовних джерелах результат відомий під назвою принцип інваріантності ЛаСаля (англ. LaSalle's invariance principle), тоді як в українській (та радянській) літературі здебільшого вживається термін теорема Красовського, або теорема Барбашина-Красовського.

ПостановкаРедагувати

Стан системи у фазовому просторі   (де  ) в час   даний точкою  , де   диференційовні функції. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь  , де   неперервна функція,  . Систему можна коротко записати як  . Припустимо що   є точкою рівноваги системи, тобто  .

Теорема Барбашина — КрасовськогоРедагувати

Якщо існує додатно визначена[en] нескінченно велика функція   похідна від якої по часу   вздовж траєкторій системи   є від'ємно-сталою (тобто   повсюди), причому рівність   можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки  , то нульовий розв'язок системи рівнянь   стійкий в цілому.

Принцип інваріантності ЛаСаляРедагувати

Нехай   скалярна функція з неперервними частковими похідними повсюди яка також задовольняє

  1.   коли  ,
  2.   повсюди,
  3.   з тим як  .

Якщо рівність   можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки  , то нульовий розв'язок системи рівнянь   стійкий в цілому.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. М. О. Перестюк, О. С. Чернікова. Теорія стійкості Архівовано 4 березень 2016 у Wayback Machine., §3. Узагальнення теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість, §4. Узагальнення третьої теореми Ляпунова.
  2. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения Архівовано 19 листопад 2015 у Wayback Machine., 1959. (рос.)
  3. LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520-527, 1960. (англ.)

Оригінальні статтіРедагувати

ПосиланняРедагувати