Стійкість (динамічні системи)

В математиці, рішення диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія в фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка рішень з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного рішення. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість по Ляпунову, асимптотичну стійкість і т.д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального рішення в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.

Постановка завдання стійкості динамічних системРедагувати

Нехай   — область простору  , що містить початок координат,  , де  . Розглянемо систему (1) виду:

  (1)

При будь-яких   існує єдине рішення x(t, t0, x0) системи (1), задовольняюче початковим умовам x(t0, t0, x0) = x0. Будемо припускати, що рішення x(t, t0, x0) визначено на інтервалі  , причому  .

Нехай дані також дві динамічні системи:

  (2)

  (3)

Кожне рішення   системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом   та початковою вектор-функцією   де   за   Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції   належать простору   шматочно-неперервних за   функцій із рівномірною нормою   де   - евклідова норма вектора.

Функціонал   заданий й є неперервним у області

 

де   - множина функцій   які задовільняють умові   Припустимо, у цій області є справедливою оцінка

 

Відтак система (3) має рішення  

Стійкість за ЛяпуновимРедагувати

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається стійким по Ляпунову, якщо для будь-яких   і   існує  , залежне тільки від ε и t0 і не залежить від t, таке, що для будь-якого x0, для котрого  , рішення x системи з початковими умовами x(t0) = x0 триває на всю піввісь t > t0 і задовольняє нерівності  .

 .

Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь

  (4)

де   - n-вимірний вектор, компоненти векторної функції   визначені й неперервно диференційовані за усіх   та є однорідними функціями порядку   Відтак система (4) має рішення  

Розгляньмо функцію Ляпунова   яка має наступні властивості:

  •   неперервно диференційована;
  •   додатно визначена;
  •   - однорідна функція порядку  ;
  • справедлива рівність  

Диференціюючи систему (4) в силу системи (3)   маємо

 

де   Нехай нульове рішення системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність   то нульове рішення системи (3) є асимпотично стійким за будь-якого значення  

Рівномірна стійкість по ЛяпуновуРедагувати

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається рівномірно стійким по Ляпунову, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:

 

Нестійкість по ЛяпуновуРедагувати

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається нестійким по Ляпунову, якщо:

 

Асимптотична стійкістьРедагувати

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо воно стійке по Ляпунову і виконується умова  для всякого x з початковою умовою x0, лежачим в досить малій околиці нуля.

Еквіасимптотична стійкістьРедагувати

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно притягуюче.

Рівномірна асимптотична стійкістьРедагувати

Тривіальне рішення системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо воно стійке і еквіпритягаюче.

Асимптотична стійкість в ціломуРедагувати

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким в цілому, якщо воно стійке і глобальнопритягуюче.

Рівномірна асимптотична стійкість в ціломуРедагувати

Тривіальне рішення x = 0 системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким в цілому, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно-глобальнопритягуюче.

Див. такожРедагувати

  • Теорема Лагранжа про стійкість рівноваги

ЛітератураРедагувати

  • Беллман Р. {{{Заголовок}}}.
  • Четаев Н. Г. {{{Заголовок}}}.
  • Красовский Н. Н. {{{Заголовок}}}.
  • Малкин И. Г. {{{Заголовок}}}.
  • Демидович Б. П. {{{Заголовок}}}.
  • Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. {{{Заголовок}}}. — ISBN 5-06-004162-X..
  • Филиппов А. Ф. {{{Заголовок}}}.