Стійкість (динамічні системи)

В математиці, розв'язок диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія в фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка розв'язків з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного розв'язку. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість за Ляпуновим, асимптотичну стійкість і т. д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального розв'язку в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.

Постановка завдання стійкості динамічних систем

Нехай $\Omega$ — область простору $\mathbb {R} ^{n}$, що містить початок координат, $I=[\tau ;\infty )$, де $\tau \in \mathbb {R} ^{1}$. Розглянемо систему (1) виду:

$\left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}=f(t,x),x\in \mathbb {R} ^{n},f:I\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}\\f(t,0)=0.\end{matrix}}\right.$ (1)

При будь-яких $(t_{0},x_{0})\in I\times \Omega$ існує єдиний розв'язок x(t, t₀, x₀) системи (1), задовольняюче початковим умовам x(t₀, t₀, x₀) = x₀. Будемо припускати, що розв'язок x(t, t₀, x₀) визначено на інтервалі $J^{+}=[t_{0};\infty )$, причому $J^{+}\subset I$.

Нехай дані також дві динамічні системи:

${\dot {X}}(t)=F(X(t-\tau )),\quad \quad \tau =\mathrm {const} >0;$ (2)

${\dot {X}}(t)=F(X(t-\tau ))+{\mathfrak {F}}(t,X_{t}).$ (3)

Кожен розв'язок $X(t,t_{0},\varphi )$ системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом $t_{0}$ та початковою вектор-функцією $\varphi (\xi ),$ де $X(t_{0}+\xi ,t_{0},\varphi )=\varphi (\xi )$ за $\xi \in [-\tau ,0].$ Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції $\varphi (\xi )$ належать простору $PC[-\tau ,0]$ шматково-неперервних за $\xi \in [-\tau ,0]$ функцій із рівномірною нормою $||\varphi ||_{\tau }={\underset {\xi \in [-\tau ,0]}{\sup }}||\varphi (\xi )||,$ де $||\cdot ||$ — евклідова норма вектора.

Функціонал ${\mathfrak {F}}(t,\varphi )$ заданий й є неперервним у області

$\{t\in \mathbb {E} :t\geq 0\}\times \Omega _{H},$

де $\Omega _{H}$ — множина функцій $\varphi (\xi )\in PC[-\tau ,0],$ які задовільняють умові $||\varphi ||_{\tau }<H,\,\,(H=\mathrm {const} >0).$ Припустимо, у цій області є справедливою оцінка

$||R(t,\varphi )||\leq \beta (||\varphi ||_{\tau }^{\sigma }),\quad \quad \beta >0,\,\,\sigma >0.$

Відтак система (3) має розв'язок $X(t)\equiv 0.$

Стійкість за Ляпуновим

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-яких $t_{0}\in I$ і $\varepsilon >0$ існує $\delta >0$, залежне тільки від ε і t₀ і не залежне від t, таке, що для будь-якого x₀, для котрого $\|x_{0}\|<\delta$, розв'язок x системи з початковими умовами x(t₀) = x₀ триває на всю піввісь t > t₀ і задовольняє нерівності $\|x(t)\|<\varepsilon$.

$(\forall \varepsilon >0)(\forall t_{0}\in I)(\exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0)(\forall x_{0}\in B_{\delta (t_{0},\varepsilon )})(\forall t\geq t_{0},t\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t,t_{0},x_{0})\|<\varepsilon )$.

Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь

${\dot {X}}(t)=F(X(t)),$ (4)

де $X(t)$ — n-вимірний вектор, компоненти векторної функції $F(X)$ визначені й неперервно диференційовані за усіх $X\in \mathbb {E} ^{n}$ та є однорідними функціями порядку $\mu \geq 1.$ Відтак система (4) має розв'язок $X(t)\equiv 0.$

Розгляньмо функцію Ляпунова $V(X),$ яка має наступні властивості:

• $V(X)$ неперервно диференційована;
• $V(X)$ додатно визначена;
• $V(X)$ — однорідна функція порядку $\gamma >1$;
• справедлива рівність $({\frac {\partial V(X)}{\partial X}})^{T}F(x)=-||X||^{\gamma +\mu -1}.$

Диференціюючи систему (4) в силу системи (3) $t\geq 0,\,\,||X_{t}||_{\tau }<H$ маємо

${\dot {V}}|_{(3)}=({\frac {\partial V(X(t))}{\partial X}})^{T}F(X(t))+({\frac {\partial V(X(t))}{\partial X}})^{T}(F(X(t))+R(t,X_{t}))\leq -||X(t)||^{\gamma +\mu -1}+b_{1}||X(t)||^{\gamma -1}(||F(X(t-\tau ))-F(X(t))||+\beta (||X_{t}||_{\tau })^{\sigma }),$

де $b_{1}=\mathrm {const} >0.$ Нехай нульовий розв'язок системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність $\sigma >\mu >1,$ то нульовий розв'язок системи (3) є асимптотично стійким за будь-якого значення $\tau >0.$

Рівномірна стійкість за Ляпуновим

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно стійким за Ляпуновим, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:

$(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta (\varepsilon )>0)(\forall t_{0}\in I)(\forall x_{0}\in B_{\delta (\varepsilon )})(\forall t\geq t_{0},t\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t,t_{0},x_{0})\|<\varepsilon )$

Нестійкість за Ляпуновим

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається нестійким за Ляпуновим, якщо:

$(\exists \varepsilon >0)(\exists t_{0}\in I)(\forall \delta >0)(\exists x_{0}\in B_{\delta })(\exists t_{*}\geq t_{0},t_{*}\in J^{+})\Rightarrow (\|x(t_{*},t_{0},x_{0})\|\geq \varepsilon )$

Асимптотична стійкість

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо він стійкий за Ляпуновим і виконується умова$\lim _{t\to \infty }\|x(t_{*},t_{0},x_{0})\|=0$ для всякого x з початковою умовою x₀, що лежить у досить малому околі нуля.

Еквіасимптотична стійкість

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно притягальний.

Рівномірна асимптотична стійкість

Тривіальний розв'язок системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо він стійкий і еквіпритягальний.

Асимптотична стійкість в цілому

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким у цілому, якщо він стійкий і глобальнопритягальний.

Рівномірна асимптотична стійкість в цілому

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким у цілому, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно-глобальнопритягальний.

Див. також

• Теорема Лагранжа про стійкість рівноваги
• Критерій Андронова — Понтрягіна

Література

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений : [рос.]. — М. : Издательство иностранной литературы, 1954.
• Четаев, Н. Г. Устойчивость движения : [рос.]. — 4-е изд., испр.. — М. : Наука, 1990. — 176 с. — ISBN 5-02-014018-X.
• Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения : [рос.]. — М. : Физматгиз, 1959.
• Малкин И. Г. Теория устойчивости движения : [рос.]. — 2-е изд., испр.. — М. : Наука, 1966.
• Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости : [рос.]. — М. : Наука, 1967. — 472 с.
• Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления : [рос.]. — 3-е изд., испр. и доп.. — М. : Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X.
• Филиппов, А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — Эдиториал УРСС, 2007. — 240 с. — ISBN 978-5-484-00786-8.
• Руш, Н., Абетс, П., Лалуа, М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М. : Мир, 1980.