Стійкість (динамічні системи)

Немає перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проекту.

В математиці, розв'язок диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія в фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка розв'язків з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного розв'язку. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість за Ляпуновим, асимптотичну стійкість і т. д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального розв'язку в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції.

Постановка завдання стійкості динамічних систем

ред.

Нехай   — область простору  , що містить початок координат,  , де  . Розглянемо систему (1) виду:

  (1)

При будь-яких   існує єдиний розв'язок x(t, t0, x0) системи (1), задовольняюче початковим умовам x(t0, t0, x0) = x0. Будемо припускати, що розв'язок x(t, t0, x0) визначено на інтервалі  , причому  .

Нехай дані також дві динамічні системи:

  (2)

  (3)

Кожен розв'язок   системи (2) визначається початковими умовами: початковим моментом   та початковою вектор-функцією   де   за   Для виділених систем (2-3) із запізнюванням функції   належать простору   шматково-неперервних за   функцій із рівномірною нормою   де   — евклідова норма вектора.

Функціонал   заданий й є неперервним у області

 

де   — множина функцій   які задовільняють умові   Припустимо, у цій області є справедливою оцінка

 

Відтак система (3) має розв'язок  

Стійкість за Ляпуновим

ред.

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-яких   і   існує  , залежне тільки від ε і t0 і не залежне від t, таке, що для будь-якого x0, для котрого  , розв'язок x системи з початковими умовами x(t0) = x0 триває на всю піввісь t > t0 і задовольняє нерівності  .

 .

Нехай задана ще одна система диференціальних рівнянь

  (4)

де   — n-вимірний вектор, компоненти векторної функції   визначені й неперервно диференційовані за усіх   та є однорідними функціями порядку   Відтак система (4) має розв'язок  

Розгляньмо функцію Ляпунова   яка має наступні властивості:

  •   неперервно диференційована;
  •   додатно визначена;
  •   — однорідна функція порядку  ;
  • справедлива рівність  

Диференціюючи систему (4) в силу системи (3)   маємо

 

де   Нехай нульовий розв'язок системи (4) є стійким. Якщо виконується нерівність   то нульовий розв'язок системи (3) є асимптотично стійким за будь-якого значення  

Рівномірна стійкість за Ляпуновим

ред.

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно стійким за Ляпуновим, якщо δ з попереднього визначення залежить тільки від ε:

 

Нестійкість за Ляпуновим

ред.

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається нестійким за Ляпуновим, якщо:

 

Асимптотична стійкість

ред.

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким, якщо він стійкий за Ляпуновим і виконується умова  для всякого x з початковою умовою x0, що лежить у досить малому околі нуля.

Еквіасимптотична стійкість

ред.

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно притягальний.

Рівномірна асимптотична стійкість

ред.

Тривіальний розв'язок системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо він стійкий і еквіпритягальний.

Асимптотична стійкість в цілому

ред.

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається асимптотично стійким у цілому, якщо він стійкий і глобальнопритягальний.

Рівномірна асимптотична стійкість в цілому

ред.

Тривіальний розв'язок x = 0 системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким у цілому, якщо він рівномірно стійкий і рівномірно-глобальнопритягальний.

Див. також

ред.

Література

ред.