Стала Гаусса
Ця стаття містить перелік посилань, але походження окремих тверджень залишається незрозумілим через брак внутрішньотекстових джерел-виносок. (December 2015) |
В математиці стала Гаусса (позначається як ) визначається як обернене середнє арифметико-геометричне з 1 та квадратного кореня з 2:
Стала Гаусса | |
Названо на честь | Карл Фрідріх Гаус |
---|---|
Числове значення | 0,8346268 ± 1,0E−7 |
Формула | |
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
Стала була названа на честь Карла Фрідріха Гаусса, який у 1799 році[1] довів, що
а отже
де позначає бета-функцію.
Зв'язок з іншими сталими ред.
Стала Гаусса може бути використана для обчислення гамма-функції при значенні аргументу 14:
Альтернативний варіант:
і, оскільки та алгебраїчно незалежні, то стала Гаусса є трансцендентною.
Лемніскатні сталі ред.
Стала Гаусса може бути використана для визначення лемніскатних сталих.
Гаусс та інші[2][3] використовували еквівалентний запис:
який є лемніскатною сталою.
Однак Джон Тодд використовував іншу термінологію, визначаючи дві "лемніскатні сталі" та :[4]
Вони виникають при знаходженні довжини дуги лемніскати Бернуллі. та є трансцендентними, що було доведено Теодором Шнайдером[en] відповідно у 1937 та 1941 роках.[4]
Інші формули ред.
Формула для у термінах тета-функцій Якобі має наступний вигляд:
а також у вигляді швидкозбіжного ряду:
Стала також задається нескінченним добутком
Аналогічно за формулою Валліса:[5]
А також вона випливає з визначених інтегралів:
Стала Гаусса у вигляді ланцюгового дробу має вигляд . (послідовність A053002 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).
Див. також ред.
Література ред.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
Примітки ред.
- ↑ Nielsen, Mikkel Slot. (July 2016). Undergraduate convexity : problems and solutions. p. 162. ISBN 9789813146211. OCLC 951172848.
- ↑ Kobayashi, Hiroyuki; Takeuchi, Shingo (2019), Applications of generalized trigonometric functions with two parameters, Communications on Pure & Applied Analysis, 18 (3): 1509—1521, arXiv:1903.07407, doi:10.3934/cpaa.2019072
- ↑ Asai, Tetsuya (2007), Elliptic Gauss Sums and Hecke L-values at s=1, arXiv:0707.3711
- ↑ а б Todd, John (1975). The lemniscate constants. Communications of the ACM. 18: 14—19. doi:10.1145/360569.360580.
- ↑ Hyde, Trevor (2014). A Wallis product on clovers (PDF). The American Mathematical Monthly. 121 (3): 237—243. doi:10.4169/amer.math.monthly.121.03.237.
- Weisstein, Eric W. Gauss's Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Sequences A014549 and A053002 in OEIS
Зовнішні посилання ред.
- Gauss's constant and where it occurs. www.johndcook.com (амер.). 17 жовтня 2021.