Максимальна функція Гарді — Літлвуда

У математиці максимальний оператор Гарді — Літлвуда M є важливим сублінійним оператором, що широко застосовується у дійсному і гармонічному аналізі. Аргументом цього оператора є локально інтегровна функція f : R^d → C і результатом інша функція Mf яка в кожній точці x ∈ R^d рівна супремуму середніх значень, які функція f має в усіх кулях з центром у цій точці. Точніше

Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}|f(y)|\,dy

де B(x, r) є кулею радіуса r з центром у точці x і |E| позначає d-вимірну міру Лебега підмножини E ⊂ R^d.

Середнє значення є неперервною функцією аргументів x і r, тому максимальна функція Mf, як супремум по r > 0, є вимірною. Важливим результатом є те, що Mf є майже всюди скінченною, що випливає із максимальної нерівності Гарді — Літлвуда.

Максимальна нерівність Гарді — Літлвуда ред.

Оператор M є обмеженим як сублінійний оператор із L^p(R^d) у себе для p > 1. Якщо f ∈ L^p(R^d) тоді максимальна функція Mf є слабко L¹-обмеженою і Mf ∈ L^p(R^d). Для формального твердження теореми позначимо для простоти як {f > t} множину {x | f(x) > t}. Тоді:

Теорема (Слабка оцінка). Для d ≥ 1 і f ∈ L¹(R^d), існує константа C_d > 0 така, що для всіх λ > 0:
$\left|\{Mf>\lambda \}\right|<{\frac {C_{d}}{\lambda }}\Vert f\Vert _{L^{1}(\mathbf {R} ^{d})}.$

Із використанням цієї нерівності і теореми Марцинкевича можна отримати сильніше твердження:

Теорема (Сильна оцінка). Для d ≥ 1, 1 < p ≤ ∞ і f ∈ L^p(R^d),
існує константа C_p,d > 0 для якої

$\Vert Mf\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}\leq C_{p,d}\Vert f\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}.$

Найкращі значення для константи C_p,d не є відомими.^[1] Проте Штейн із використанням метода Зигмунта — Кальдерона довів таку теорему:

Теорема (незалежність від розмірності). Для 1 < p ≤ ∞ можна вибрати C_p,d = C_p незалежно від розмірності d.^[1]^[2]

Доведення ред.

Для p = ∞, нерівність є тривіальною (оскільки середнє значення функції є не більшим ніж її істотний супремум). Для 1 < p < ∞ використовується версія леми Віталі про покриття для доведення слабкої оцінки:

Лема. Нехай X — сепарабельний метричний простір і ${\mathcal {F}}$ — сім'я відкритих куль обмеженого діаметра. Тоді у ${\mathcal {F}}$ існує не більш, ніж зліченна підмножина ${\mathcal {F}}'$ усі елементи якої не перетинаються між собою і також
$\bigcup _{B\in {\mathcal {F}}}B\subset \bigcup _{B\in {\mathcal {F'}}}5B$
де 5B для кулі B позначає кулю з тим же центром і радіусом в 5 раз більшим.

Якщо Mf(x) > t, тоді, за означенням, можна знайти кулю B_x з центром у точці x для якої

\int _{B_{x}}|f|dy>t|B_{x}|.

Згідно леми, серед таких куль можна знайти послідовність куль B_j, що не перетинаються між собою і для яких кулі 5B_j покривають множину {Mf > t}. Звідси також:

|\{Mf>t\}|\leq 5^{d}\sum _{j}|B_{j}|\leq {5^{d} \over t}\int |f|dy.

Це завершує доведення слабкої оцінки. Далі із неї доводяться оцінки для L^p. Введемо функцію b задану як b(x) = f(x), якщо |f(x)| > t/2 і 0 в іншому разі. Застосувавши слабку оцінку до функції b одержуємо:

|\{Mf>t\}|\leq {2C \over t}\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}|f|dx,

де C = 5^d. Тоді

\|Mf\|_{p}^{p}=\int \int _{0}^{Mf(x)}pt^{p-1}dtdx=p\int _{0}^{\infty }t^{p-1}|\{Mf>t\}|dt

Згідно оцінки вище маємо:

\|Mf\|_{p}^{p}\leq p\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\left({2C \over t}\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}|f|dx\right)dt=2Cp\int _{0}^{\infty }\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}t^{p-2}|f|dxdt=C_{p}\|f\|_{p}^{p}

де константа C_p залежить лише від p і d. Це завершує доведення теореми.

Константу $C=5^{d}$ у доведенні можна покращити до $3^{d}$ використовуючи внутрішню регулярність міри Лебега і скінченну версію леми Віталі про покриття.

Застосування ред.

Максимальна нерівність Гарді — Літлвуда застосовується зокрема для доведення таких тверджень:

Коментарі ред.

Найменші значення констант C_p,d і C_d є невідомими.

Є кілька варіантів максимального оператора Гарді — Літлвуда у означенні яких замість куль із центром у вказаній точці використовуються інші сім'ї множин. Наприклад можна розглядати оператор

f^{*}(x)=\sup _{x\in B_{x}}{\frac {1}{|B_{x}|}}\int _{B_{x}}|f(y)|dy

де кулі B_x мають містити точку x, але x може не бути центром таких куль. Іншим прикладом є діадичний максимальний оператор

M_{\Delta }f(x)=\sup _{x\in Q_{x}}{\frac {1}{|Q_{x}|}}\int _{Q_{x}}|f(y)|dy

де Q_x позначає діадичні куби, що містять точку x. Обидва ці оператори задовольняють максимальну нерівність Гарді — Літлвуда.

Примітки ред.

↑ ^а ^б Tao, Terence. Stein’s spherical maximal theorem. What's New. Архів оригіналу за 26 травня 2011. Процитовано 22 травня 2011.
↑ Stein, E. M. (S 1982). The development square functions in work A. Zygmund. Bulletin American Mathematical Society. New Series. 7 (2): 359—376. doi:10.1090/s0273-0979-1982-15040-6.

Література ред.

Katznelson, Yitzhak (2004), An Introduction to Harmonic Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-83829-0
Schilling, René L. (2005), Measures, Integrals and Martingales, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-52185-015-5, MR 2200059, Zbl 1084.28001
Rami Shakarchi & Elias M. Stein, Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis. Princeton University Press, 2005

[Tao-1] а ^б Tao, Terence. Stein’s spherical maximal theorem. What's New. Архів оригіналу за 26 травня 2011. Процитовано 22 травня 2011.

[Stein82-2] Stein, E. M. (S 1982). The development square functions in work A. Zygmund. Bulletin American Mathematical Society. New Series. 7 (2): 359—376. doi:10.1090/s0273-0979-1982-15040-6.

[1]

[2]