Збіжність за мірою

Збіжність за мірою у теорії міри, функціональному аналізі і суміжних дисциплінах — це вид збіжності вимірних функцій заданих на просторі з мірою.

Частковим випадком міри є ймовірність, відповідно, збіжність за ймовірністю є частковим випадком збіжності за мірою.

Збіжність за ймовірністю у теорії ймовірностей — це вид збіжності випадкових величин заданих на ймовірнісному просторі.

Збіжність за мірою

Нехай $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — простір з мірою $f_{n},f:X\to \mathbb {R} ^{m},\;n=1,2,\ldots$ — вимірні функції на цьому просторі. Говорять, що послідовність функцій $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ збігається за мірою до функції $f$, якщо: $\forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }\mu (\{x\in X\mid \|f_{n}(x)-f(x)\|>\varepsilon \})=0$.

Позначення: $f_{n}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}f$.

Збіжність за ймовірністю

Нехай дано імовірнісний простір $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$, з визначеною на ньому послідовністю випадкових величин $X_{n},X,\;n=1,2,\ldots$. Якщо для як завгодно малого $\varepsilon$, ймовірність нерівності $|X_{n}-X|<\varepsilon$ зі збільшенням $n$ необмежено наближається до нуля, то говорять, що послідовність $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ збігається за ймовірністю до величини $X$.

Тобто,

$\forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }P(|X_{n}-X|>\varepsilon )=0$.

Цю границю можна записати в інший спосіб:

$\forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }P(|X_{n}-X|<\varepsilon )=1$.

Позначення збіжності за ймовірністю: $X_{n}{\stackrel {P}{\longrightarrow }}X$.

Зауваження

Визначення збіжності за мірою (за ймовірністю) може бути узагальнене для відображень (випадкових елементів), що набувають значень у довільному метричному просторі.

Властивості збіжності за мірою

• Якщо послідовність функцій $f_{n}$ збігається за мірою до $f$, то з неї можна виділити підпослідовність $f_{n_{k}}$, що збігається до $f$ $\mu$ — майже всюди.

• Якщо послідовність функцій $f_{n}$ збігається за мірою до $f$, і $\forall n\in \mathbb {N} ,\;|f_{n}|\leqslant g$, де $g\in L^{p},\;p\geqslant 1$, то $f_{n},f\in L^{p}$, і $f_{n}$ збігається до $f$ у $L^{p}$.

• Якщо послідовність функцій $f_{n}$ збігається $\mu$-майже усюди до $f$, то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.

• Якщо послідовність функцій $f_{n}$ збігається в $L^{p}$ до $f$, то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.

• Якщо послідовність випадкових величин $X_{n}$ збігається за ймовірністю до $X$, то вона збігається до $X$ і за розподілом.

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)