Відкрити головне меню

В теорії імовірності і статистиці Розподіл Лапласа належить до сім'ї неперервних розподілів. Названо на честь французького математика П'єра-Симона Лапласа. Інколи вживають назву подвійний експоненційний розподіл, маючи на увазі, що графік щільності розподілу Лапласа виглядає як симетрично продовжена (на від'ємній півосі) щільність експоненційного розподілу.

Розподіл Лапласа

Probability density plots of Laplace distributions
Функція розподілу ймовірностей
Cumulative distribution plots of Laplace distributions
Параметри параметр локалізації (дійсний)
параметр масштабу (дійсний)
Носій функції
Розподіл ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf) Дивіться текст
Середнє
Медіана
Мода
Дисперсія
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf) для
Характеристична функція

Різниця значень двох незалежних однаково розподілених експоненційних випадкових величин розподілена за розподілом Лапласа, також Броунівський рух в експоненційно розподіленій точці часу розподілений за Лапласом.

Зміст

ХарактеристикиРедагувати

Щільність розподілуРедагувати

Випадкова величина розподілена з розподілом Лапласа, X~Lap(μ,b), має щільність:

 

де, μ — параметр локалізації і b > 0 параметр масштабу. Якщо μ = 0 і b = 1, додатня частина розподілу є точно половина експоненційного розподілу.

Щільність розподілу Лапласа нагадує щільність нормального розподілу, з тією відмінністю, що вираз щільності нормального розподілу містить квадрат різниці значення і математичного сподівання (μ), а у виразі для щільності Лапласового розподілу модуль цієї різниці. Як наслідок Лапласів розподіл має товстіші хвости в порівнянні з нормальним розподілом.

Функція розподілуРедагувати

Функцію розподілу легко отримати проінтегрувавши щільність і використовуючи симетричність щільності відносно параметра μ. Функція розподілу має вигляд:

 

 

Обернене до функції розполу записується:


 

Математичне сподівання і дисперсіяРедагувати

В показнику експоненти щільності маємо модуль різниці, тому інтервал   необхідно розбити на   і   (функція щільності симетрична відносно цих інтервалів). Інтеграли беруться частинами, при підстановці нескінченостей ( ) розглядаємо границі вигляду  .

     


   


 

МоментиРедагувати

 

Застосовуючи формулу інтегрування частинами декілька раз, отримуємо:

  

  

Після підстановок границь інтегрування:

   

 

Оскільки перший інтеграл залежить від парності k розглядаються двавипадки: k — парне і k — непарне:

 

Або, в загальному вигляді:

 , де   — ціла частина x.

Генерація випадкових величин розподілених за ЛапласомРедагувати

Нехай маємо випадкову величину U рівномірно розподілену на інтервалі (-1/2, 1/2], тоді випадкова величина

 

розподілена за розподілом Лапласа з параметрами μ and b. Це видно якщо розглянути функцію обернену до функції розподілу, яка наведена вище.

Випадкову величину   ~   можна також згенерувати як різницю двох н.о.р.   випадкових величин. Або ще випадкову величину   ~   можна згенерувати як логарифм частки двох н.о.р. рівномірно розподілених випадкових величин.