Розклад Шура

Розклад Шура — представлення квадратної матриці $\ A$ з комплексними коефіцієнтами у вигляді

$\ A=URU^{*},$

де U — унітарна матриця, R — верхня трикутна матриця.

Властивості

• Очевидно, що матриця $\ R$ подібна до матриці $\ A$, отже в них всі власні значення збігаються, а оскільки $\ R$ — трикутна, то вони знаходяться в неї на головній діагоналі.

• Матриця $\ A$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли матриця $\ R$ в розкладі Шура буде діагональною. Отже для нормальних матриць спектральний розклад та розклад Шура збігаються.

• Якщо квадратні матриці $\ A,B$ є переставними, то їх можна привести до трикутного вигляду одною унітарною матрицею:

$\exists \;U,R_{1},R_{2}:\quad A=UR_{1}U^{*},\quad B=UR_{2}U^{*}.$

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних матриць.

• Наслідком з попередньої властивості є одночасна діагоналізація переставних нормальних матриць (див. Переставні матриці).

Узагальнений розклад Шура

Квадратні матриці $\ A,B$ можуть бути представлені у вигляді:

$\ A=QR_{1}Z^{*},\quad B=QR_{2}Z^{*}$

де

$\ Q,Z$ — унітарні матриці,

$\ R_{1},R_{2}$ — верхні трикутні матриці.

Ще відомий під назвою QZ-розклад. Узагальнює сингулярний розклад матриці.

Дивись також

• Теорія матриць
• Розклад матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)