Матриця мас

В аналітичній механіці матриця мас — симетрична матриця M, яка виражає зв'язок між похідною за часом ${\dot {q}}$ вектора узагальнених координат $q$ системи та кінетичною енергією $T$ цієї системи за рівнянням

$T={\frac {1}{2}}\mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}\mathbf {M} \mathbf {\dot {q}}$

де $\mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}$ позначає транспонування вектора $\mathbf {\dot {q}}$. Це рівняння аналогічне формулі для кінетичної енергії частинки з масою $m$ і швидкістю $v$, а саме

$T={\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\frac {1}{2}}\mathbf {v} \cdot m\mathbf {v}$

і може бути отримане з неї, якщо виразити положення кожної частинки системи через q.

У загальному випадку матриця мас М залежить від стану q і тому змінюється з часом.

Лагранжева механіка дає звичайне диференціальне рівняння (фактично, систему пов'язаних диференціальних рівнянь), яке описує еволюцію системи в термінах довільного вектора узагальнених координат, який повністю визначає положення кожної частинки в системі. Наведена вище формула кінетичної енергії є одним із членів цього рівняння, яке представляє загальну кінетичну енергію всіх частинок.

Приклади

Система мас в одному просторовому вимірі

Наприклад, розглянемо систему, що складається із двох точкових мас, обмежених прямою лінією. Стан цих систем можна описати вектором двох узагальнених координат, а саме положеннями двох частинок уздовж лінії.

$q={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$,

Припустимо, що частинки мають маси $m_{1}$, $m_{2}$, кінетична енергія системи

$T=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {x_{i}}}^{2}$

Цю формулу також можна записати як

$T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\textsf {T}}M{\dot {q}}$

де

$M={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}$

Система N тіл

У загальнішому випадку розглянемо систему $N$ частинок, позначених індексами i = 1, 2, …, N, де положення частинки з номером $i$ визначається $n_{i}$ вільними декартовими координатами (де $n_{i}$ дорівнює 1, 2 або 3). Нехай $q$ — вектор стовпця, що містить усі ці координати. Матриця мас $M$ являє собою діагональну блокову матрицю, де в кожному блоці діагональні елементи це маси відповідних частинок:

$M=\operatorname {diag} \left[m_{1}I_{n_{1}},\,m_{2}I_{n_{2}},\,\ldots ,\,m_{N}I_{n_{N}}\right]$

де $I_{n_{i}}$ — одинична матриця $n_{i}\times n_{i}$ або повніше:

$M={\begin{bmatrix}m_{1}&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &m_{1}&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\0&\cdots &0&m_{2}&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &m_{2}&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &m_{N}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &m_{N}\\\end{bmatrix}}$

Обертова гантеля

Оберотова гантеля

Як менш тривіальний приклад розглянемо два точкові об'єкти з масами $m_{1}$, $m_{2}$, прикріплених до кінців жорсткого безмасового стрижня довжиною $2R$, причому вузол може вільно обертатися і ковзати по фіксованій площині. Стан системи можна описати узагальненим координатним вектором

$q={\begin{bmatrix}x&y&\alpha \end{bmatrix}}$

де $x$, $y$ — декартові координати середньої точки стрижня і $\alpha$ — кут між стрижнем і деяким довільним опорним напрямком. Положення та швидкості двох частинок

${\begin{aligned}x_{1}&=(x,y)+R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{1}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)+R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\\x_{2}&=(x,y)-R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{2}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)-R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\end{aligned}}$

та їх загальна кінетична енергія

$2T=m{\dot {x}}^{2}+m{\dot {y}}^{2}+mR^{2}{\dot {\alpha }}^{2}-2Rd\sin(\alpha ){\dot {x}}{\dot {\alpha }}+2Rd\cos(\alpha ){\dot {y}}{\dot {\alpha }}$

де $m=m_{1}+m_{2}$ і $d=m_{1}-m_{2}$. Цю формулу можна записати у вигляді матриці

$T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\textsf {T}}M{\dot {q}}$

де

$M={\begin{bmatrix}m&0&-Rd\sin \alpha \\0&m&Rd\cos \alpha \\-Rd\sin \alpha &Rd\cos \alpha &R^{2}m\end{bmatrix}}$

Зауважте, що матриця залежить від поточного кута $\alpha$ стрижня.

Механіка суцільних середовищ

Для дискретних наближень механіки суцільних середовищ, як у методі скінченних елементів може бути кілька способів побудови матриці мас, залежно від необхідної продуктивності обчислень і точності. Наприклад, метод із зосередженими масами, де деформація кожного елемента нехтується, створює діагональну матрицю мас і усуває необхідність інтегрувати масу за деформованим елементом.

Див. також

• Момент інерції
• Тензор енергії-імпульсу
• Склерономність