Конструкція Proj

У алгебричній геометрії конструкція Proj є аналогом конструкції афінних схем як спектрів кілець. Одержані за допомогою її допомогою схеми мають властивості проєктивних просторів і проєктивних многовидів.

У цій статті всі кільця вважаються комутативними кільцями з одиницею.

Proj градуйованого кільця

Proj як множина

Нехай $S$ — градуйоване кільце, де

$S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}$

є розкладом у пряму суму, асоційованим з градуюванням.

Позначимо через $S_{+}$ ідеал $\bigoplus _{i>0}S_{i}.$ Нехай множина Proj S є множиною всіх однорідних простих ідеалів, що не містять $S_{+}.$

Надалі для стислості Proj S також позначається X.

Proj як топологічний простір

На Proj S можна ввести топологію, що називається топологією Зариського, якщо визначити замкнутими множинами множини виду

$V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} \,S\mid a\subseteq p\},$

де a — однорідний ідеал S. Як і у випадку афінних схем, легко перевіряється, що V(a) — замкнуті множині деякої топології на X.

Дійсно, якщо $(a_{i})_{i\in I}$ — сім'я ідеалів, то $\bigcap V(a_{i})=V(\Sigma a_{i})$ і якщо множина I є скінченною, то $\bigcup V(a_{i})=V(\Pi a_{i})$.

Еквівалентно, можна почати з відкритих множин і визначити

$D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} \,S\mid a\;\not \subseteq \;p\}.$

Стандартне скорочення полягає в тому, щоб позначати D(Sf) як D(f), де Sf — ідеал, породжений f. Для будь-якого a, D(a) і V(a) є доповнюючими множинами і наведене вище доведення показує, що D(a) утворюють топологію на Proj S. Перевага цього підходу в тому, що D(f), де f пробігає всі однорідні елементи S, утворюють базис цієї топології, що є необхідним інструментом для вивчення Proj S, аналогічно випадку спектрів кілець.

Proj як схема

На Proj S можна ввести пучок, що називається структурним пучком і перетворює його в схему. Як і в випадку конструкції Spec існує кілька способів це зробити: найбільш прямий з яких нагадує конструкцію регулярних функцій на проєктивному многовиді в класичній алгебричній геометрії. Для будь-якої відкритої множини U в Proj S кільце $O_{X}(U)$ задається як множина всіх функцій

$f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}$

(Де $S_{(p)}$ позначає підкільце локального кільця $S_{p}$ точки $p$, що складається з часток однорідних елементів однакового степеня) таких, що для кожного простого ідеалу p в U:

1. F(p) є елементом $S_{(p)}$;
2. Існує відкрита підмножина V множини U, що містить p, і однорідні елементи s, t кільця S однакового степеня, такі, що для кожного простого ідеалу q в V:
   • t не належить q;
   • F(q) = s/t.

З визначення негайно випливає, що $O_{X}(U)$ утворюють пучок кілець $O_{X}$ на Proj S, і можна показати, що пара (Proj S, $O_{X}$) є схемою. А саме обмеження Proj S на відкриту підмножину D(f) є ізоморфним афінній схемі $(\operatorname {Spec} S_{f}^{(0)},O_{\operatorname {Spec} S_{f}^{(0)}}),$ де $S_{f}^{(0)}$ позначає кільце елементів нульового степеня у локалізації $S_{p},$ тобто кільце елементів виду ${\frac {g}{f^{m}}}\;g\in S_{d}m,f\in S_{d}.$

Оскільки множини D(f) для однорідних f утворюють базу топології Зариського, то Proj S дійсно є схемою.

Пучок, асоційований з градуйованим модулем

Істотною властивістю S в конструкції вище була можливість побудови локалізацій $S_{(p)}$ для кожного простого ідеалу p в S. Цією властивістю також володіє будь-який градуйований модуль M над S, і, отже, конструкція з розділу вище із невеликими змінами дозволяє побудувати для такого M пучок $O_{X}$-модулів на Proj S, що позначається ${\tilde {M}}$. За побудовою цей пучок є квазікогерентним. Якщо S породжується скінченною кількістю елементів степеня 1 (тобто є кільцем многочленів або його фактором), всі квазікогерентні пучки на Proj S утворюються із градуйованих модулів за допомогою цієї конструкції. Відповідний градуйований модуль не є єдиним.

скручуючий пучок Серра

Окремим випадком пучка, асоційованого з градуйованим модулем є коли в якості M взяти саме S з іншим градуюванням: а саме, елементами степеня d модуля M є елементи степеня (d + 1) кільця S і M = S(1). Одержується квазікогерентний пучок ${\tilde {M}}$ на Proj S, що позначається $O_{X}(1)$ або просто O (1) і називається скручуючим пучком Серра. Можна перевірити, що O(1) є оборотним пучком.

Одна з причин корисності O (1) полягає в тому, що він дозволяє відновити алгебричну інформацію про S, яка була втрачена в конструкції $O_{X}$ при переході до часток степеня 0. У випадку Spec A для кільця A, глобальні перетини структурного пучка є самим A, тоді як в нашому випадку глобальні перетини пучка $O_{X}$ складаються з елементів S ступеня 0. Якщо ми визначимо

$O(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}O(1)$

то кожне O(n) містить інформацію степеня n про S. Аналогічно, для пучка $O_{X}$-модулів N, асоційованого з S-модулем M можна визначити

$N(n)=N\otimes O(n)$

і очікувати, що цей пучок містить втрачену інформацію про M. Це дозволяє припустити, хоча і неправильно, що S можна відновити з цих пучків; це насправді вірно, якщо S є кільцем многочленів.

n-вимірний проєктивний простір

Якщо A — кільце, то n-вимірний проєктивний простір над A за означенням є схемою

$\mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} \,A[x_{0},\ldots ,x_{n}].$

Градуювання на кільці $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ вводиться вважаючи, що кожен $x_{i}$ має степінь 1 і кожен елемент A має степінь 0 . Зіставляючи це з означенням O (1), даним вище, перетину O (1) - лінійні однорідні многочлени, породжені елементами $x_{i}$.

Приклади

• Якщо взяти як базове кільце $A=\mathbb {C} [\lambda ]$, то ${\text{Proj}}(A[X,Y,Z]/(ZY^{2}-X(X-Z)(X-\lambda Z)))$ має канонічний проєктивний морфізм на афінну пряму $\mathbb {A} _{\lambda }^{1}$, шари якого є еліптичними кривими, крім шарів над точками $\lambda =0,1$, над якими шари вироджуються в нодальні криві.
• Проєктивна гіперповерхня ${\text{Proj}}\left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots X_{4}^{5})\right)$ є прикладом тривимірної квінтики Ферма, яка також є многовидом Калабі — Яу.
• Зважений проєктивний простір можна побудувати, використовуючи кільця многочленів з нестандартними степенями змінних. Наприклад, зважений проєктивний простір $\mathbb {P} (1,1,2)$ відповідає ${\text{Proj}}$ кільця $A[X_{0},X_{1},X_{2}]$ де $X_{0},X_{1}$ мають ступінь $1$, тоді як $X_{2}$ має ступінь 2.
• Біградуйоване кільце відповідає підсхемі добутку проєктивних просторів. Наприклад, біградуйована алгебра $\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]$, де $X_{i}$ мають степінь $(1,0)$ і $Y_{i}$ мають степінь $(0,1)$, відповідає $\mathbb {P} _{X}^{1}\times \mathbb {P} _{Y}^{1}$.

Література

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes» [Архівовано 15 грудня 2018 у Wayback Machine.]. Publications Mathématiques de l’IHÉS. 8, 1961.
• Ueno, Kenji (1999), Algebraic geometry I. From algebraic varieties to schemes, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, ISBN 9780821808627