Пучок модулів

У математиці, пучок модулів — це пучок над окільцьованим простором $(X,O_{X})$, що має структуру модуля над структурним пучком $O_{X}$.

Визначення

Для окільцьованого простору $(X,O_{X})$, пучок $O_{X}$-модулів (або просто $O_{X}$-модуль) — це пучок $F$ над $X$, такий що $F(U)$ є $O_{X}(U)$-модулем для кожної відкритої множини $U$, і для кожної відкритої множини $V$, що міститься в $U$, відображення обмеження $F(U)\to F(V)$ узгоджене зі структурою модулів: для кожних $a\in O_{X}(U),f\in F(U)$ маємо

$(af)|_{V}=a|_{V}f|_{V}$.

Морфізмом $O_{X}$-модулів $F\to G$ називають морфізм пучків, такий, що для будь-якої відкритої множини $U$ відображення $F(U)\to G(U)$ є морфізмом $O_{X}(U)$-модулів.

Приклади

• Структурний пучок $O_{X}$ є $O_{X}$-модулем. Пучок $O_{X}$- модулів, що є підпучком пучка $O_{X}$, називають пучком ідеалів на $X$.
• Якщо $f:F\to G$ — морфізм $O_{X}$- модулів, то ядро, образ і коядро $f$ є $O_{X}$-модулями.
• Будь-які прямі суми, прямі добутки, прямі і зворотні границі $O_{X}$-модулів є $O_{X}$-модулями. Пучок $O_{X}$-модулів називається вільним, якщо він ізоморфний прямій сумі декількох копій $O_{X}$. Пучок $O_{X}$-модулів $F$ називають локально вільним (рангу $r$) якщо в кожної точки $X$ існує відкритий окіл, на якому $F$ вільний (ізоморфний прямій сумі $r$ копій пучка $O_{X}$). Локально вільний пучок рангу 1 називають також оборотним пучком.
• Якщо $F,G$ — пучок $O_{X}$-модулів, пучок морфізмів з $F$ у $G$ можна визначити так:$U\mapsto Hom_{O_{X}(U)}(F(U),G(U)).$ Двоїстий $O_{X}$-модуль до $O_{X}$-модуля $F$ — це модуль морфізмів з $F$ у $O_{X}$.
• Пучок, асоційований з передпучком $U\to F(U)\otimes _{O_{X}(U)}G(U)$ позначають $F\otimes _{O_{X}}G$. Його шар у точці $x$ канонічно ізоморфний $F_{x}\otimes _{O_{X,x}}G_{x}$. Аналогічно визначають симетричний і зовнішній добуток.

Література

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М. : Мир, 1981.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas» [Архівовано 19 липня 2021 у Wayback Machine.]. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4, 1960.