Відкрити головне меню

Класи Бера - множини дійснозначних функцій, означені індуктивно, введені Рене-Луі Бером в 1899 році.

ОзначенняРедагувати

Надалі розглядаємо функції  , де   - метричний простір.

Нумерація класів Бера не обмежується натуральними числами, і може бути продовжена за допомогою трансфінітних чисел.

ВластивостіРедагувати

Надалі   - порядкове число.

  • Лінійна комбінація, добуток та частка функцій з класу Бера з номером не вище ніж   теж належать класу Бера з номером не вище ніж  .
  • Рівномірно збіжна послідовність функцій з класів з номером не більше ніж   має границю з класу Бера з номером не більше ніж  .
  • Похідна довільної диференційовної функції належить або класу Бера 0 або класу Бера 1.
  • Функція Діріхле належить до класу Бера 2.
  • Кожен клас Бера - непорожній.
  • Існують функції, що не належать до жодного класу Бера.
  • Множина Берівських функцій (множина функцій, що належать до якогось класу Бера) збігається з множиною Борелівських функцій.
  • Всі Берівські функції вимірні.
  • Кожна вимірна функція (за Лебегом) еквівалентна функції з класу Бера не вище ніж 2.
  • Розривна функція належить першому класу Бера тоді й лише тоді коли вона має точку неперервності на кожній досконалій множині.

ПосиланняРедагувати