Простір Серпінського

Простір Серпінського — один з класичних прикладів топологічного простору.

Означення

Простором Серпінського (зв'язним двоточковим простором або зв'язною двоточкою) називається топологічний простір з двоелементним носієм $X=\{a,b\}$ та топологією $\tau =\{\varnothing ,X\,\{a\}\}$.

Властивості

• Простір Серпінського не є $T_{1}$-простором, оскільки єдиним околом точки b є весь простір.
• Простір Серпінського є $T_{0}$-простором. Справді, точка $a$ має окіл $\{a\}$, який не містить точку $b$.
• Простір Серпінського є $T_{4}$ і $T_{5}$-простором.
• Простір Серпінського задовольняє першу та другу аксіоми зліченності, компактний, ліндельофів, сепарабельний, гіперзв'язний, ультразв'язний, лінійно зв'язний, але не дугово зв'язний топологічний простір.

Дивись також

• Гаусдорфів простір
• Аксіоми віддільності
• Псевдоколо

Література

1. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446