Задача про гарматні ядра

Зада́ча про гарма́тні я́дра (англ. cannonball problem) — задача про знаходження числа гарматних ядер, які можна вкласти і в один шар у формі квадрата, і у формі піраміди з квадратом в основі, тобто про знаходження квадратних чисел, які також є квадратними пірамідними числами. Знаходження цього числа зводиться до розв'язання діофантового рівняння $\sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}$ або ${\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}$ . Рівняння має два розв'язки: $N=1$ і $M=1$ , тобто одне гарматне ядро, і $N=24$ і $M=70$ тобто 4900 гарматних ядер.

Історія задачі

Питання вкладання гарматних ядер цікавили вже сера Волтера Релі та його сучасника Томаса Герріота^[1], однак у наведеній вище формі задачу сформулював в 1875 року Едуар Люка, який припустив, що крім $N=1$ і $N=24$ розв'язків немає^[2]. Часткові доведення запропонували Море-Блан (1876)^[3] та сам Люка (1877)^[4]. Перше повне доведення запропонував Вотсон^[ru] (1918)^[5]; у доведенні використано еліптичні функції^[6]. Ще одне доведення, з використанням рівняння Пелля^[7], запропонував Люнггрен^[en] (1952)^[8]. Доведення з використанням лише елементарних функцій запропонували Ма (1985)^[9] та Енглін (1990)^[10]^[6].

Доведення

Доведення Вотсона

Доведення Вотсона^[5] ґрунтується на спостереженні, що з трьох чисел $N$ , $N+1$ і $2N+1$ одне має ділитися на 3; і або $N$ , або $N+1$ є парним; і що решта множників мають бути квадратами. Тому можливі шість варіантів:

$N=3a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=3b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=2a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=3c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=6b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2};$
$N=a^{2},\ N+1=2b^{2},\ 2N+1=3c^{2}.$

Однак, оскільки $2b^{2}$ при діленні на 3 може мати лише остачу 0 або 2, перший варіант призводить до суперечності. Аналогічно можна виключити другий, третій та четвертий варіанти.

П'ятий варіант приводить до розв'язку $N=24$ . Справді, $N=6a^{2},\ N+1=b^{2},\ 2N+1=c^{2}$ можливо тільки при непарному $c$ , і $(c-1)(c+1)=12a^{2}$ тобто існують цілі числа $d$ і $e$ , такі що ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a=de$ або ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a=de$ . Однак, ${\frac {1}{2}}(c-1)=d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=3e^{2},\ a=de$ приводить до суперечності $3e^{2}-d^{2}\equiv 1{\pmod {3}}$ . Отже, ${\frac {1}{2}}(c-1)=3d^{2},\ {\frac {1}{2}}(c+1)=e^{2},\ a=de$ , тобто, $c-1=6d^{2},\ c+1=2e^{2}$ і $c+1=2e^{2},\ c^{2}+1=2b^{2}$ . Як показав Жероно^[ru], $c=1$ і $c=7$ є єдиними розв'язками останньої системи рівнянь^[11]. Випадок $c=1$ неможливий, оскільки $N=0$ ; випадок $c=7$ приводить до $N=24$ . Альтернативне доведення єдиності розв'язку $N=24$ у цьому випадку, наведене в розділі 6.8.2 книги Коена, використовує те, що розв'язками $y^{2}=8x^{4}+1$ є тільки $(0,\;1),\ (0,\;-1),\ (1,\;3),\ (1,\;-3),\ (-1,\;3),\ (-1,\;-3)$ ^[12].

Доведення відсутності нетривіальних розв'язків у шостому варіанті потребує застосування еліптичних функцій. Дійсно, шостий варіант можна звести до вигляду $2b^{2}-a^{2}=1,2b^{2}+a^{2}=3c^{2}$ . Замість цих рівнянь Вотсон розглядає загальніший випадок $2X^{2}-Y^{2}=Z^{2},2X^{2}+Y^{2}=3W^{2}$ і показує, що розв'язки цих рівнянь мають задовольняти ${\frac {Z}{W}}=(-1)^{r}\operatorname {sd} ((2r+1)\beta ){\sqrt {\frac {3}{2}}}$ , де $r$ — невід'ємне ціле число, $\beta$ задана $\operatorname {sn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ , $\operatorname {cn} (\beta )={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ , $\operatorname {dn} (\beta )={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ , а $\operatorname {sn}$ , $\operatorname {cn}$ , $\operatorname {dn}$ і $\operatorname {sd}$ — еліптичні функції Якобі. Далі Вотсон доводить, що $Z$ чисельно дорівнює одиниці, тільки якщо $r=0$ , тобто $X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=W^{2}=1$ , і єдиний можливий у цьому випадку розв'язок $N=1$ .

Доведення Ма

Доведення єдиності наведених вище розв'язків, запропоноване Ма, ґрунтується на послідовному доведенні таких тверджень^[12]:

Єдиним парним розв'язком задачі про укладання ядер є $(24,70)$ . Дійсно, парність $n$ дозволяє виключити варіанти 1, 4 і 6 з довдення Вотсона, варіанти 2 і 3 призводять до суперечності (див. доведення Вотсона), а $(24,70)$ — єдиний розв'язок, можливий для варіанту 5.
Нехай $\alpha =2+{\sqrt {3}},\beta =2-{\sqrt {3}},M_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/2$ . Тоді для невід'ємних $n$ , $M_{n}$ має вигляд $4x^{2}+3$ тільки для $n=2$ .
Єдиним непарним $N$ , що задовольняє задачі про укладання ядер, є $N=1$ . Справді, міркуючи аналогічно доведенню Вотсона, непарне $N$ має задовольняти варіанту 6, тобто, $N=a^{2},N+1=2b^{2},2N+1=3c^{2}$ . Оскільки для будь-якого $x$ , $(4x+3)^{2}-8(x+1)(2x+1)=1$ і $4x+3=2(2x+1)+1$ , це також справедливо для $N$ . Підставляючи $2b^{2}$ і $3c^{2}$ замість $x+1$ і $2x+1$ , отримаємо $(2(3c^{2})+1)^{2}-8\cdot 2b^{2}\cdot 3c^{2}=1$ , тобто, $(6c^{2}+1)^{2}-3(4bc)^{2}=1$ . Оскільки $2+{\sqrt {3}}$ породжує групу одиниць $\mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]$ , існує $n\in \mathbb {Z}$ таке, що $6c^{2}+1+4bc{\sqrt {3}}=\pm (M_{n}+G_{n}{\sqrt {3}})$ , де $M_{n}$ визначено вище, а $G_{n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})/(\alpha -\beta )$ . Оскільки $M_{n}$ додатне, $M_{n}=6c^{2}+1$ і, за визначенням $a$ , $M_{n}=4a^{2}+3$ . За попередньою лемою, $n=2,M_{n}=7$ , тобто $a=1$ і $n=1$ .

Подробиці доведення наведено в розділі 6.8.2 книги Коена^[12].

Узагальнення задачі

За винятком тривіального випадку $N=1$ , не існує числа гарматних ядер, які можна було б укласти у вигляді піраміди з квадратом у основі, і яке б при цьому одночасно було кубом, четвертим або п'ятим степенем натурального числа^[13]. Більш того, це справедливо для укладання ядер у вигляді правильного тетраедра^[13].

Іншим узагальненням задачі є питання про знаходження числа ядер, які можна укласти у формі квадрата та зрізаної піраміди з квадратом у основі. Тобто шукають $n$ послідовних квадратів (не обов'язково починаючи з 1), сума яких є квадратом. Відомо, що множина $S$ таких $n$ нескінченна, має асимптотичну щільність нуль і для $n$ , які є квадратами, існує нескінченно багато розв'язків^[7]. Число $N(x)$ елементів множини $S$ , що не перевищують $x$ , оцінюється як $c_{1}{\sqrt {x}}<N(x)<c_{2}{\frac {x}{\ln {x}}}$ . Перші елементи $n$ множини $S$ та відповідні найменші значення $a$ , такі що $\sum _{k=a}^{a+n-1}k^{2}$ є квадратом, наведено в таблиці^[7]:

Для $n=2$ і $a=3$ розв'язком є піфагорова трійка $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ . Для $n=24$ і $a=1$ розв'язком є наведений вище розв'язок задачі про укладання гарматних ядер. Послідовність елементів множини $S$ — послідовність A001032 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS^[14].

Ще одне узагальнення завдання розглянули Канеко і Татібана^[15]: замість питання про рівність суми перших квадратних чисел та іншого квадратного числа вони розглянули питання про рівність суми перших багатокутних чисел та іншого багатокутного числа і показали, що для будь-якого $m\geqslant 3$ існує нескінченно багато послідовностей перших $m$ -кутних чисел, таких що їх сума дорівнює іншому багатокутному числу, і що для будь-якого $n\geqslant 3$ існує нескінченна кількість $n$ -кутних чисел, подаваних у вигляді суми послідовностей перших багатокутних чисел. Більш того, Канеко та Татібана встановили, що для будь-якого натурального $k$ виконуються такі відношення:

Pyr_{m}(3(m-2)k-2)=G_{9k+2}((m-2)^{2}k-m+3),

Pyr_{m}(3k-1)=G_{(m-2)k+3}(3k-1),

Pyr_{m}(6k-3)=G_{4(m-2)(2k-1)+6}(3k-1),

G_{n}((n-2)k^{2}-3k+1)=Pyr_{3k+2}((n-2)k-2),

G_{n}(8k^{2}-6k+1)=Pyr_{3(n-2)k+2}(4k-2),

де $G_{m}(n)$ — $n$ -е $m$ -кутне число, а $Pyr_{m}(n)$ — $n$ -е $m$ -кутне пірамідне число, тобто, сума $n$ перших $m$ -кутних чисел^[15].

Зв'язок з іншими галузями математики

Нетривіальний розв'язок $N=24$ призводить до побудови ґратки Ліча (яка, у свою чергу, пов'язана з різними галузями математики та теоретичної фізики — теорією бозонних струн, монстром). Це робиться за допомогою парної унімодулярної ґратки $\mathrm {II} _{25,1}$ у 25+1-вимірному псевдоевклідовому просторі. Розглянемо вектор цієї ґратки $w=(0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;23,\;24;\;70)$ . Оскільки $N=24$ і $M=70$ — розв'язок задачі про вкладання гарматних ядер, цей вектор — світлоподібний, $w\cdot w=0$ , звідки, зокрема, випливає, що він належить власному ортогональному доповненню $w^{\bot }$ . Згідно з Конвеєм^[16]^[17], вектор $w$ дозволяє побудувати ґратку Ліча

як фактор-множину $(w^{\bot }\cap \mathrm {II} _{25,1})/w$ , яка коректно визначена завдяки світлоподібності $w$ ;
як множину всіх векторів $r\in \mathrm {II} _{25,1}$ таких, що $r\cdot r=2,r\cdot w=-1$ . Такі вектори утворюють множину так званих фундаментальних коренів ґратки $\mathrm {II} _{25,1}$ . У всіх випадках, коли можна таким способом побудувати множину фундаментальних коренів парної унімодулярної ґратки у псевдоевклідовому просторі $\mathrm {II} _{n,1}$ , завжди можна використати цілочисловий вектор із просторовими компонентами, що йдуть підряд від нуля; а щоб ця множина утворювала ґратку, цей вектор має бути світлоподібним. І, оскільки $N=24$ — єдиний нетривіальний розв'язок задачі про вкладання гарматних ядер, то 24-вимірна ґратка Ліча — єдина ґратка, яку можна в такий спосіб отримати з $\mathrm {II} _{n,1}$ .

Див. також

Щільне пакування рівних сфер

Примітки

↑ David Darling. Cannonball Problem. The Internet Encyclopedia of Science. Архів оригіналу за 23 грудня 2017. Процитовано 6 липня 2017.
↑ Édouard Lucas. Question 1180. : [арх. 1 вересня 2017]. — Nouv. Ann. Math. — 1875. — Вип. 14. — С. 336.
↑ Claude Séraphin Moret-Blanc. Question 1180. : [арх. 2 вересня 2017]. — Nouv. Ann. Math. — 1876. — Вип. 15. — С. 46—48.
↑ Édouard Lucas. Question 1180. : [арх. 1 вересня 2017]. — Nouv. Ann. Math. — 1877. — Вип. 15. — С. 429—432.
↑ ^а ^б G. N. Watson. The Problem of the Square Pyramid.. — Messenger Math. — 1918. — Вип. 48. — С. 1—22.
↑ ^а ^б Eric W. Weisstein. Cannonball Problem. MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.). Архів оригіналу за 18 липня 2017. Процитовано 6 липня 2017.
↑ ^а ^б ^в Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory / K. A. Bencsath, P. R. Halmos. — 3rd. — Springer. — P. 223—224. — (Problem Books in Mathematics) — ISBN 978-1-4419-1928-1.
↑ W. Ljunggren. New solution of a problem proposed by E. Lucas. — Norsk Mat. Tid.. — 1952. — Вип. 34. — С. 65—72.
↑ D. G. Ma. An Elementary Proof of the Solutions to the Diophantine Equation $6y^{2}=x(x+1)(2x+1)$ .. — Sichuan Daxue Xuebao. — 1985. — Вип. 4. — С. 107—116.
↑ W. S. Anglin. The Square Pyramid Puzzle.. — Amer. Math. Monthly. — 1990. — Вип. 97. — С. 120—124.
↑ C.-C. Gerono. Démonstration d'une formule dont on peut déduire, comme cas particulier, le binôme de Newton. — Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. — 1857. — С. 237—240.
↑ ^а ^б ^в Henri Cohen. Number Theory. — 2007 : Springer. — Т. Volume I: Tools and Diophantine Equations. — P. 424—427. — ISBN 978-0-387-49922-2.
↑ ^а ^б Elena Deza, Michel Marie Deza. Figurate Numbers. — Singapore : World Scientific, 2012. — P. 98. — ISBN 981-4355-48-8.
↑ N. J. A. Sloane. A001032 Numbers n such that sum of squares of n consecutive integers ≥ 1 is a square. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (англ.). Архів оригіналу за 30 липня 2017. Процитовано 10 липня 2017.
↑ ^а ^б Masanobu Kaneko and Katsuichi Tachibana. When is a polygonal pyramid number again polygonal? : [арх. 1 вересня 2017] : [англ.]. — Rocky Mountain Journal of Mathematics. — 2002. — № 1. — С. 149—165.
↑ J. H. Conway. The automorphism group of the 26-dimensional even unimodular Lorentzian lattice. — Journal of Algebra. — 1983. — Vol. 80. — P. 159—163.
↑ J. H. Conway, N. J. A. Sloane. 26. Lorentzian Forms for the Leech Lattice. 27. The Automorphism Group of the 26-Dimensional Lorentzian Lattice // Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed.. — Springer-Verlag New York, 1999. — ISBN 978-1-4757-6568-7, 978-0-387-98585-5.

[1] David Darling. Cannonball Problem. The Internet Encyclopedia of Science. Архів оригіналу за 23 грудня 2017. Процитовано 6 липня 2017.

[lucas-2] Édouard Lucas. Question 1180. : [арх. 1 вересня 2017]. — Nouv. Ann. Math. — 1875. — Вип. 14. — С. 336.

[mb-3] Claude Séraphin Moret-Blanc. Question 1180. : [арх. 2 вересня 2017]. — Nouv. Ann. Math. — 1876. — Вип. 15. — С. 46—48.

[lucas2-4] Édouard Lucas. Question 1180. : [арх. 1 вересня 2017]. — Nouv. Ann. Math. — 1877. — Вип. 15. — С. 429—432.

[watson-5] а ^б G. N. Watson. The Problem of the Square Pyramid.. — Messenger Math. — 1918. — Вип. 48. — С. 1—22.

[weisstein-6] а ^б Eric W. Weisstein. Cannonball Problem. MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.). Архів оригіналу за 18 липня 2017. Процитовано 6 липня 2017.

[guy-7] а ^б ^в Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory / K. A. Bencsath, P. R. Halmos. — 3rd. — Springer. — P. 223—224. — (Problem Books in Mathematics) — ISBN 978-1-4419-1928-1.

[ljunggren-8] W. Ljunggren. New solution of a problem proposed by E. Lucas. — Norsk Mat. Tid.. — 1952. — Вип. 34. — С. 65—72.

[ma-9] D. G. Ma. An Elementary Proof of the Solutions to the Diophantine Equation $6y^{2}=x(x+1)(2x+1)$ .. — Sichuan Daxue Xuebao. — 1985. — Вип. 4. — С. 107—116.

[anglin-10] W. S. Anglin. The Square Pyramid Puzzle.. — Amer. Math. Monthly. — 1990. — Вип. 97. — С. 120—124.

[gerono-11] C.-C. Gerono. Démonstration d'une formule dont on peut déduire, comme cas particulier, le binôme de Newton. — Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. — 1857. — С. 237—240.

[cohen-12] а ^б ^в Henri Cohen. Number Theory. — 2007 : Springer. — Т. Volume I: Tools and Diophantine Equations. — P. 424—427. — ISBN 978-0-387-49922-2.

[dezadeza-13] а ^б Elena Deza, Michel Marie Deza. Figurate Numbers. — Singapore : World Scientific, 2012. — P. 98. — ISBN 981-4355-48-8.

[oeis-14] N. J. A. Sloane. A001032 Numbers n such that sum of squares of n consecutive integers ≥ 1 is a square. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (англ.). Архів оригіналу за 30 липня 2017. Процитовано 10 липня 2017.

[kt-15] а ^б Masanobu Kaneko and Katsuichi Tachibana. When is a polygonal pyramid number again polygonal? : [арх. 1 вересня 2017] : [англ.]. — Rocky Mountain Journal of Mathematics. — 2002. — № 1. — С. 149—165.

[Conway-16] J. H. Conway. The automorphism group of the 26-dimensional even unimodular Lorentzian lattice. — Journal of Algebra. — 1983. — Vol. 80. — P. 159—163.

[ConwaySloane-17] J. H. Conway, N. J. A. Sloane. 26. Lorentzian Forms for the Leech Lattice. 27. The Automorphism Group of the 26-Dimensional Lorentzian Lattice // Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed.. — Springer-Verlag New York, 1999. — ISBN 978-1-4757-6568-7, 978-0-387-98585-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]