Унімодулярна ґратка

ціла ґратка з визначником ± 1

Унімодулярна ґратка — ціла ґратка з визначником . Останнє еквівалентне тому, що об'єм фундаментальної області ґратки дорівнює .

ВизначенняРедагувати

  • Ґратка — вільна абелева група   скінченного рангу   із симетричною білінійною формою  .
  • Ґратку можна також розглядати як підгрупу в дійсному векторному просторі   із симетричною білінійною формою.
  • Число   називається розмірністю ґратки, це розмірність відповідного дійсного векторного простору; це те саме, що й ранг  -модуля  , або число твірних вільної групи  .
  • Ґратка називається цілою, якщо форма   набуває тільки цілочисельних значень.
  • Норма елемента   ґратки визначається як  .
  • Ґратка називається додатно визначеною або лоренцевою, і так далі, якщо таким є її векторний простір. Зокрема:
    • Ґратка є додатно визначеною, якщо норма всіх ненульових елементів додатна.
    • Сигнатура ґратки визначається як сигнатура форми на векторному просторі.
  • Визначник ґратки — це визначник матриці Грама її базису.
  • Ґратка називається унімодулярною, якщо її визначник дорівнює  .
  • Унімодулярна ґратка називається парною, якщо всі норми її елементів парні.

ПрикладиРедагувати

  •  , а також   — унімодулярні ґратки.
  • Ґратка E8, ґратка Ліча — парні унімодулярні ґратки.

ВластивостіРедагувати

  • Для даної ґратки в   вектори   такі, що   для будь-якого   також утворюють ґратку звану двоїстою ґраткою до  .
    • Ціла ґратка унімодулярна тоді й лише тоді, коли її двоїста ґратка є цілою.
    • Унімодулярна ґратка тотожна своїй двоїстій, тому унімодулярні ґратки також називаються самодвоїстими.
  • Непарні унімодулярні ґратки існують для всіх сигнатур.
  • Парна унімодулярна ґратка із сигнатурою   існує тоді й лише тоді, коли   ділиться на 8.
    • Зокрема, парні додатно визначені унімодулярні ґратки існують тільки в розмірностях, кратних 8.
  • Тета-функція унімодулярних додатно визначених ґраток є модулярною формою.

ЗастосуванняРедагувати

  • Друга група когомологій замкнутих однозв'язних орієнтованих топологічних чотиривимірних многовидів є унімодулярною ґраткою. Михайло Фрідман показав, що ця ґратка практично визначає многовид: існує єдиний многовид для кожної парної унімодулярної ґратки, і рівно по два для кожної непарної унімодулярної ґратки.
    • Зокрема, для нульової форми це приводить до гіпотези Пуанкаре для 4-вимірних топологічних многовидів.
    • Теорема Дональдсона свідчить, що якщо многовид є гладким і його ґратка додатно визначена, то вона повинна бути сумою копій  .
      • Зокрема, що більшість із цих многовидів не має гладкої структури.

ЛітератураРедагувати

ПосиланняРедагувати