Унімодулярна ґратка

Унімодулярна ґратка — ціла ґратка з визначником $\pm 1$. Останнє еквівалентне тому, що об'єм фундаментальної області ґратки дорівнює $1$.

Визначення

• Ґратка — вільна абелева група $\mathbb {Z} ^{n}$ скінченного рангу $n$ із симетричною білінійною формою $({*},{*})$.
• Ґратку можна також розглядати як підгрупу в дійсному векторному просторі $\mathbb {R} ^{n}$ із симетричною білінійною формою.
• Число $n$ називається розмірністю ґратки, це розмірність відповідного дійсного векторного простору; це те саме, що й ранг $\mathbb {Z}$-модуля $\mathbb {Z} ^{n}$, або число твірних вільної групи $\mathbb {Z} ^{n}$.
• Ґратка називається цілою, якщо форма $({*},{*})$ набуває тільки цілочисельних значень.
• Норма елемента $a$ ґратки визначається як $(a,a)$.
• Ґратка називається додатно визначеною або лоренцевою, і так далі, якщо таким є її векторний простір. Зокрема:
  • Ґратка є додатно визначеною, якщо норма всіх ненульових елементів додатна.
  • Сигнатура ґратки визначається як сигнатура форми на векторному просторі.
• Визначник ґратки — це визначник матриці Грама її базису.
• Ґратка називається унімодулярною, якщо її визначник дорівнює $\pm 1$.
• Унімодулярна ґратка називається парною, якщо всі норми її елементів парні.

Приклади

• $\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$, а також $\mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ — унімодулярні ґратки.
• Ґратка E8, ґратка Ліча — парні унімодулярні ґратки.

Властивості

• Для даної ґратки в $\Lambda \in \mathbb {R} ^{n}$ вектори $x\in \mathbb {R} ^{n}$ такі, що $(x,a)\in \mathbb {Z}$ для будь-якого $a\in \Lambda$ також утворюють ґратку звану двоїстою ґраткою до $\Lambda$.
  • Ціла ґратка унімодулярна тоді й лише тоді, коли її двоїста ґратка є цілою.
  • Унімодулярна ґратка тотожна своїй двоїстій, тому унімодулярні ґратки також називаються самодвоїстими.
• Непарні унімодулярні ґратки існують для всіх сигнатур.
• Парна унімодулярна ґратка із сигнатурою $(m,n)$ існує тоді й лише тоді, коли $m-n$ ділиться на 8.
  • Зокрема, парні додатно визначені унімодулярні ґратки існують тільки в розмірностях, кратних 8.
• Тета-функція унімодулярних додатно визначених ґраток є модулярною формою.

Застосування

• Друга група когомологій замкнутих однозв'язних орієнтованих топологічних чотиривимірних многовидів є унімодулярною ґраткою. Михайло Фрідман показав, що ця ґратка практично визначає многовид: існує єдиний многовид для кожної парної унімодулярної ґратки, і рівно по два для кожної непарної унімодулярної ґратки.
  • Зокрема, для нульової форми це приводить до гіпотези Пуанкаре для 4-вимірних топологічних многовидів.
  • Теорема Дональдсона свідчить, що якщо многовид є гладким і його ґратка додатно визначена, то вона повинна бути сумою копій $\mathbb {Z}$.
    • Зокрема, що більшість із цих многовидів не має гладкої структури.

Література

• Bacher, Roland; Venkov, Boris (2001), Réseaux entiers unimodulaires sans racine en dimension 27 et 28 [Unimodular integral lattices without roots in dimensions 27 and 28], у Martinet, Jacques (ред.), Réseaux euclidiens, designs sphériques et formes modulaires [Euclidean lattices, spherical designs and modular forms], Monogr. Enseign. Math. (фр.), т. 37, Geneva: L'Enseignement Mathématique, с. 212—267, ISBN 2-940264-02-3, MR 1878751, Zbl 1139.11319, архів оригіналу за 28 вересня 2007
• Conway, J.H.; Sloane, N.J.A. (1999), Sphere packings, lattices and groups, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, т. 290, With contributions by Bannai, E.; Borcherds, R.E.; Leech, J.; Norton, S.P.; Odlyzko, A.M.; Parker, R.A.; Queen, L.; Venkov, B.B. (вид. Third), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98585-9, MR 0662447, Zbl 0915.52003
• King, Oliver D. (2003), A mass formula for unimodular lattices with no roots, Mathematics of Computation, 72 (242): 839—863, arXiv:math.NT/0012231, doi:10.1090/S0025-5718-02-01455-2, MR 1954971, Zbl 1099.11035
• Milnor, John; Husemoller, Dale (1973), Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, т. 73, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-88330-9, ISBN 3-540-06009-X, MR 0506372, Zbl 0292.10016
• Serre, Jean-Pierre (1973), A Course in Arithmetic, Graduate Texts in Mathematics, т. 7, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4684-9884-4, ISBN 0-387-90040-3, MR 0344216, Zbl 0256.12001

Посилання

• Каталог унімодулярних ґраток Ніла Слоуна.
• послідовність A005134 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS