Відкрити головне меню

Характеристика Ейлера

цілочислова характеристика топологічного простору
(Перенаправлено з Ейлерова характеристика)

Ейлерова характеристика або характеристика Ейлера—Пуанкаре — характеристика топологічного простору. Ейлерова характеристика простору зазвичай позначається .

ВизначенняРедагувати

где   означає число клітинок розмірности  .
  • Ейлерова характеристика довільного топологічного простору може бути визначена через числа Бетті   як знакозмінна сума:
     
Це визначення має сенс лише якщо всі числа Бетті скінченні й збігаються до нуля для достатньо великих індексів.
  • Останнє визначення узагальнює попереднє і узагальнюється на інші гомології з довільними коефіцієнтами.

ВластивостіРедагувати

Ейлерова характеристика поліедрівРедагувати

  • Ейлерова характеристика двовимірних топологічних поліедрів може бути обчислена за формулою:   де Г, Р і В — кількість граней, ребер і вершин відповідно. Зокрема, для будь якого многогранника справедлива формула Ейлера:
     
Наприклад, характеристика Ейлера для куба дорівнює 6 — 12 + 8 = 2, а для трикутної піраміди 4 — 6 + 4 = 2.

Теорема Ґауса—БоннеРедагувати

Для компактного двовимірного орієнтованого риманового многовиду   (поверхні без краю) справедлива Формула Ґауса-Бонне, що пов'язує ейлерову характеристику   з кривиною Ґауса   многовиду:

 

де   — елемент площі поверхні  .

  • Існує узагальнення формули Ґауса—Бонне для двовимірного многовиду з краєм (межею).
  • Існує узагальнення формули Ґауса — Бонне на парновимірні ріманові многовиди, яке відоме як Теорема Ґауса — Бонне — Черна або Узагальнена формула Ґауса—Бонне.
  • Існує також дискретний аналог теореми Ґауса — Бонне, який говорить, що характеристика Ейлера дорівнює сумі дефектів поліедра, поділеній на  .[1]
  • Існують комбінаторні аналоги формули Ґаусса — Бонне.

Орієнтовані й неорієнтовані поверхніРедагувати

  • Ейлерова характеристика для орієнтованої сфери з ручками (тора, подвійного тора, ...) подається формулою:  , де g — число ручок, для неорієнтованої поверхні формула виглядає, як  .

Величина характеристики ЕйлераРедагувати

Назва Вид Ейлерова характеристика
Відрізок   1
Коло   0
Круг   1
Сфера   2
Тор
(добуток двох кіл)
  0
Подвійний тор   −2
Потрійний тор   −4
Проективна поверхня   1
Стрічка Мебіуса   0
Пляшка Кляйна   0
Дві сфери (незв'язані)    2 + 2 = 4
Три сфери     2 + 2 + 2 = 6

ІсторіяРедагувати

У 1752 році Ейлер [2] опублікував формулу, що пов'язує між собою кількість граней тривимірного багатогранника. В оригінальній роботі формула приводиться у вигляді

 

де S — кількість вершин, Н — кількість граней, A — кількість ребер.

Раніше ця формула зустрічається в рукописах Рене Декарта, опублікованих Лейбніцем у 1760 році [3].

У 1899 році Анрі Пуанкаре [4] узагальнив цю формулу на випадок N-вимірного многотогранника:

 

де   — кількість i-вимірних граней N-вимірного многогранника.

 

ПриміткиРедагувати

  1. ERGUN AKLEMAN, JIANER CHEN. Practical Polygonal Mesh Modeling with Discrete Gaussian-Bonnet Theorem. Texas A&M University. Процитовано 2019-10-21. 
  2. Л. Ейлер Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus Соліда hedris planis inclusa Сюнт praedita. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Представлено Санкт-Петербурзькій Академії 6 квітня 1752 року. Opera Omnia 1 (26): 94-108.
  3. Емелічев В.А., Ковальов М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графи, оптимізація (комбінаторна теорія багатогранників). — М., 1981. — С. 344.
  4. H. Poincaré, Sur la généralisation d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144—145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7.

ЛітератураРедагувати

  • Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.
  • Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
  • Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).