Декартів лист

плоска крива третього порядку

Дека́ртів листок — плоска крива третього порядку, що в прямокутній системі описується рівнянням:

Декартів лист
.

Параметр визначається як діагональ квадрата, сторона якого дорівнює найбільшій хорді петлі.

Історична довідкаРедагувати

Вперше в історії математики крива, що пізніше отримала назву «декартів листок», визначена у листі Декарта до Ферма у 1638 році як крива, для якої сума об'ємів кубів, побудованих на абсцисі і ординаті кожної точки, дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на абсцисі, ординаті і деякій сталій. Форма кривої встановлюється вперше Жилем Робервалем, котрий знайшов вузлову точку кривої, однак у його подачі крива складається лише з петлі. Побудувавши цю криву у чотирьох квадрантах, він отримав фігуру, що нагадує квітку з чотирма пелюстками. Однак, назва кривої «пелюстка жасмину» (фр. fleur de jasmin) не закріпилась. Повну форму кривої з наявністю асимптоти було визначено пізніше (1692) Гюйгенсом і Йоганном Бернуллі. Назва «декартів листок» стала вживатись лише з початку 18 століття на пропозицію д'Аламбера.

РівнянняРедагувати

 
 .
  • Параметричне рівняння в прямокутній системі за умови   запишеться у вигляді:
 , де  .

Часто розглядають повернуту на 135° криву. Її рівняння мають такий вигляд:

  • В прямокутній системі:
 , де  
  • У параметричній формі:
 
  • В полярних координатах:
 

ВластивостіРедагувати

  • Пряма   — вісь симетрії, її рівняння:  .
  • Точка A називається вершиною, її координати  .
  • Для обох гілок існує асимптота  , її рівняння:  .
  • Площа області між дугами   і    .
  • Площа області між асимптотою і кривою дорівнює площі петлі  .
  • Об'єм тіла, утвореного при обертанні дуги   навколо осі абсцис  .

ВикористанняРедагувати

Відому популярність для вибору траєкторій руху обробного інструменту при високошвидкісному фрезеруванні (HSM) набули траєкторії типу «петля». Застосування такої стратегії при обході особливих точок в контурному фрезеруванні вимагає її трансформації у криві, які можуть виконувати спряження. І тут часто використовується траєкторія у формі декартового листка[1].

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Петраков Ю. В., Скрипник Т. М. Аналіз технологічних траєкторій при контурному фрезеруванні //Процеси механічної обробки в машинобудуванні. Вип. 11, 2011. С. 195-204.

ДжерелаРедагувати

ПосиланняРедагувати