Декартів лист

Дека́ртів листок — плоска крива третього порядку, що в прямокутній системі описується рівнянням:

Декартів лист

$\textstyle x^{3}+y^{3}=3axy$.

Параметр $3a$ визначається як діагональ квадрата, сторона якого дорівнює найбільшій хорді петлі.

Історична довідка

Вперше в історії математики крива, що пізніше отримала назву «декартів листок», визначена у листі Декарта до Ферма у 1638 році як крива, для якої сума об'ємів кубів, побудованих на абсцисі і ординаті кожної точки, дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на абсцисі, ординаті і деякій сталій. Форма кривої встановлюється вперше Жилем Робервалем, котрий знайшов вузлову точку кривої, однак у його подачі крива складається лише з петлі. Побудувавши цю криву у чотирьох квадрантах, він отримав фігуру, що нагадує квітку з чотирма пелюстками. Однак, назва кривої «пелюстка жасмину» (фр. fleur de jasmin) не закріпилась. Повну форму кривої з наявністю асимптоти було визначено пізніше (1692) Гюйгенсом і Йоганном Бернуллі. Назва «декартів листок» стала вживатись лише з початку 18 століття на пропозицію д'Аламбера.

Рівняння

• В прямокутній системі за визначенням:

$\textstyle x^{3}+y^{3}=3axy$

• В полярній системі:

$\rho ={\frac {3a\cos \varphi \sin \varphi }{\cos ^{3}\varphi +\sin ^{3}\varphi }}$.

• Параметричне рівняння в прямокутній системі за умови $y=tx$ запишеться у вигляді:

${\begin{cases}x={\frac {3at}{1+t^{3}}}\\y={\frac {3at^{2}}{1+t^{3}}}\end{cases}}$, де $t=\operatorname {tg} \varphi$.

Часто розглядають повернуту на 135° криву. Її рівняння мають такий вигляд:

• В прямокутній системі:

$y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}$, де $l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}$

• У параметричній формі:

$x=l{\frac {t^{2}-1}{3t^{2}+1}},\ y=l{\frac {t(t^{2}-1)}{3t^{2}+1}}$

• В полярних координатах:

$\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}$

Властивості

• Пряма $OA$ — вісь симетрії, її рівняння: $y=x$.
• Точка A називається вершиною, її координати $\left({\frac {3a}{2}},{\frac {3a}{2}}\right)$.
• Для обох гілок існує асимптота $UV$, її рівняння: $x+y+a=0$.
• Площа області між дугами $ACO$ і $ABO$ $\textstyle S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$.
• Площа області між асимптотою і кривою дорівнює площі петлі $\textstyle S_{2}=S_{1}={\frac {3}{2}}a^{2}$.
• Об'єм тіла, утвореного при обертанні дуги $ACO$ навколо осі абсцис $\textstyle V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$.

Використання

Відому популярність для вибору траєкторій руху обробного інструменту при високошвидкісному фрезеруванні (HSM) набули траєкторії типу «петля». Застосування такої стратегії при обході особливих точок в контурному фрезеруванні вимагає її трансформації у криві, які можуть виконувати спряження. І тут часто використовується траєкторія у формі декартового листка.

Див. також

• Овал Декарта
• Трисектриса Маклорена

Джерела

• Махомета Т. М. Історія розвитку вчення про лінії та поверхні в курсі аналітичної геометрії // Didactics of mathematics: Problems and Investigations. – Issue # 35. – 2011. C. 78-82
• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. Справочное руководство. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. (рос.)

Посилання

• Richard L. Amoroso Fe, Fi, Fo, Folium: A Discourse on Descartes’ Mathematical Curiosity (англ.)
• Weisstein, Eric W. Folium of Descartes [Архівовано 18 січня 2012 у Wayback Machine.] на MathWorld (англ.)