Трисектриса Маклорена

кубика, яку можна використати для трисекції кута

Трисектри́са Маклоре́на — кубика, яку можна використати для трисекції кута. Її можна визначити як геометричне місце точок перетину двох прямих, кожна з яких обертається рівномірно навколо двох різних точок (полюсів) з відношенням кутових швидкостей 1:3, при цьому спочатку прямі збігаються з прямою, що проходить через ці полюси. Узагальнення цієї побудови називають січною Маклорена[en]. Січну названо на честь Коліна Маклорена, який досліджував криву 1742 року.

Трисектриса Маклорена. Показано трисекцію кута

Рівняння ред.

Нехай дві прямі обертаються навколо точок   і  , так що пряма, що обертається навколо  , утворює з віссю   кут  , а та, що обертається навколо  , утворює кут  . Нехай   — точка їх перетину, тоді кут між прямими в точці   дорівнює  . За теоремою синусів

 , так що в полярній системі координат це дасть
 .

Таким чином, крива належить до сімейства конхоїд Слюза.

У прямокутній системі координат вигляд рівняння такий:

 .

Якщо початок координат зсунути в  , то виведення, подібне до наведеного, показує, що рівняння в полярних координат перетворюється на

 

і крива стає прикладом епіспіралі[en].

Властивість трисекції ред.

Для заданого кута   малюємо промінь з   так, щоб кут з віссю   становив  . Малюємо промінь з початку координат у точку перетину першого променя з кривою. За побудовою кривої, кут між другим променем і віссю   дорівнює  .

Чудові точки і властивості ред.

Крива має перетин з віссю x у точці   і подвійну нерухому точку в початку координат. Вертикальна пряма   є асимптотою. Крива перетинає пряму   в точках  , що відповідають трисекції прямого кута. Як основна кубика, вона має рід нуль.

Зв'язок з іншими кривими ред.

Трисектрису Маклорена можна визначити як конічний перетин трьома способами. А саме:

 .
 
і прямої   відносно початку координат.
 .

До того ж,

Література ред.

Посилання ред.