Гіробіфастигіум
Гіробіфастигіум або двосхилий повернутий бікупол[1] є 26-м многогранником Джонсона (J26). Його можна побудувати, об'єднавши дві трикутні призм з правильними гранями відповідними квадратним гранями з поворотом однієї призми на 90º[2]. Це єдине тіло Джонсона, яким можна заповнити тривимірний простір[3][4].
Історія та назва ред.
Многогранник Джонсона є одним з 92 строго опуклих многогранників, що мають правильні грані, але не є однорідними многогранниками (тобто не є платоновими тілами, архімедовими тілами, призмами або антипризмами). Тіла названо ім'ям Нормана Джонсона[en], який вперше перелічив їх 1966 року[5].
Назва гіробіфастигіум походить від латинського слова fastigium, що означає двосхилий дах[6]. У стандартних домовленостях про найменування тіл Джонсона бі- означає з'єднання двох тіл за їх основами, а гіро- означає дві половинки, повернуті одна відносно одної.
Положення гіробіфастигіума в списку тіл Джонсона безпосередньо перед бікуполом[en] пояснюється тим, що його можна розглядати як двокутний гіробікупол. Подібно до того, як інші правильні куполи мають чергування квадратів і трикутників, що оточують багатокутник у вершині (трикутник , квадрат або пятикутник[en]), кожна половина гіробіфастигіума складається з почергових квадратів і трикутників, з'єднаних угорі ребром.
Стільники ред.
Повернутий трикутний призматичний стільник можна побудувати, упаковуючи багато однакових гіробіфастигіумів. Гіробіфастигіум є одним з п'яти опуклих многогранників з правильними гранями, здатних заповнити простір (інші чотири — куб, зрізаний октаедр, трикутна і шестикутна призми), і єдине тіло Джонсона з цією властивістю[3][4].
Формули ред.
Наведені далі формули для об'єму і площі поверхні можна використовувати, якщо всі грані є правильними багатокутниками з ребрами довжини a:
Топологічно еквівалентні многогранники ред.
Біпризма Шмітта — Конвея — Данцера ред.
Біпризма Шмітта — Конвея — Данцера (або протоплитка SCD[7]) є многогранником, топологічно еквівалентним гіробіфастигіуму, але з гранями у формі паралелограма і неправильних трикутників замість квадратів і правильних трикутників. Подібно до гіробіфастигіума, цей многогранник може заповнити простір, але тільки аперіодично або з гвинтовою симетрією[en] , а не з повною групою тривимірної симетрії. Таким чином, цей многогранник дає частковий розв'язок тривимірної задачі однієї плитки[8][9].
Пов'язані многогранники ред.
Двоїстий многогранник гіробіфастигіума має 8 граней — 4 рівнобедрених трикутники, відповідних вершинам степеня 3, і 4 паралелограми, відповідних вершинам степеня 4.
Біфастигіум (дігональний ортобікупол[en]), подібно до гіробіфастигіума, утворений склеюванням двох рівносторонніх трикутних призм бічними квадратними гранями, але без повороту. Він не є тілом Джонсона, оскільки його трикутні грані копланарні (лежать в одній площині). Однак існує самодвоїстий опуклий многогранник з неправильними гранями, що має таку ж комбінаторну структуру. Цей многогранник схожий з гіробіфастигіумом у тому, що вони мають по вісім вершин і вісім граней, з гранями, що утворюють пояс із чотирьох квадратних граней, які розділяють дві пари трикутників. Однак у двоїстому гіробіфастигіумі дві пари трикутників повернуті одна відносно іншої, а в біфастигіумі не повернуті.
Примітки ред.
- ↑ Залгаллер, 1967, с. 21.
- ↑ Darling, 2004, с. 169.
- ↑ а б Alam, Haas, 2006, с. 346–357.
- ↑ а б Kepler, 2010, с. 146.
- ↑ Johnson, 1966, с. 169–200.
- ↑ Rich, 1875, с. 523–524.
- ↑ Forcing Nonperiodicity With a Single Tile [Архівовано 18 жовтня 2021 у Wayback Machine.] Joshua E. S. Socolar and Joan M. Taylor, 2011
- ↑ Senechal, 1996, с. 209–213.
- ↑ Tiling Space with a Schmitt-Conway Biprism [Архівовано 22 вересня 2020 у Wayback Machine.] wolfram demonstrations
Література ред.
- S. M. Nazrul Alam, Zygmunt J. Haas. Proceedings of the 12th Annual International Conference on Mobile Computing and Networking (MobiCom '06). — New York, NY, USA : ACM, 2006. — P. 346–357. — ISBN 1-59593-286-0. — DOI:
- Johannes Kepler. [1] — Paul Dry Books, 2010. — ISBN 9781589882850. Архівовано з джерела 11 квітня 2016 Виноска 18
- David J. Darling. [2] — John Wiley & Sons, 2004. — ISBN 9780471667001. Архівовано з джерела 15 квітня 2016
- Norman W. Johnson. Convex polyhedra with regular faces // Canadian Journal of Mathematics. — 1966. — Т. 18. — DOI:.
- Anthony Rich. Dictionary of Greek and Roman Antiquities / William Smith. — London : John Murray, 1875.
- Marjorie Senechal. [3] — Cambridge University Press, 1996. — ISBN 9780521575416. Архівовано з джерела 19 серпня 2020
- В. А. Залгаллер. Выпуклые многогранники с правильными гранями // Зап. научн. сем. ЛОМИ. — 1967. — Т. 2.
Посилання ред.
- Weisstein, Eric W. Гіробіфастигіум(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.