Задача однієї плитки

геометрична проблема

Задача однієї плитки (англ. einstein problem) — геометрична проблема, яка ставить питання про існування однієї протоплитки[en], яка утворює неперіодичну множину плиток[en], тобто про існування фігури, копіями якої можна замостити простір, але тільки неперіодичних способом. У джерелах англійською мовою такі фігури називають «einsteins» — гра слів, нім. ein stein означає «один камінь», і так само записується прізвище фізика Альберта Ейнштейна. Залежно від конкретного визначення неперіодичності, а саме, які множини можна вважати плитками і як їх можна з'єднувати, проблему можна вважати відкритою або вирішеною. Задачу однієї плитки можна розглядати як природне продовження другої частини вісімнадцятої проблеми Гільберта[en], в якій ставиться питання про багатогранник, копіями якого можна заповнити тривимірний евклідів простір, причому ніяке заповнення простору копіями цього багатогранника не повинно бути ізоедральним[1]. Такі неізоедральні тіла[en] знайшов Карл Райнгард[en] у 1928 році, але ці тіла заповнюють простір періодично.

Запропонований розв'язокРедагувати

 
Плитка Соколара — Тейлор — запропонований розв'язок задачі однієї плитки.

У 1988 році Петер Шмітт виявив неперіодичну протоплитку для тривимірного евклідового простору. Хоча ніяке заповнення цим тілом не допускає паралельного перенесення, деякі заповнення мають гвинтову симетрію[en]. Операція гвинтової симетрії є композицією паралельного перенесення і повороту на кут, несумірний з π, так що ніяке число повторень цих операцій не призведе до простого паралельного перенесення. Цю конструкцію пізніше використали Джон Конвей і Людвіг Данцер для побудови опуклої неперіодичної плитки — плитки Шмітта — Конвея — Данцера. Наявність гвинтової симетрії стала наслідком вимоги неперіодичності[2]. Хаїм Гудман-Штраус запропонував вважати мозаїки строго аперіодичними, якщо для них не існує нескінченної циклічної групи рухів евклідового простору[en], які є симетріями мозаїки, і називати строго аперіодичними тільки ті набори плиток, які приводять до строго аперіодичних мозаїк, інші набори плиток тоді називаються слабко аперіодичними[3].

У 1996 році Петра Гуммельт побудувала десятикутну плитку з малюнком і показала, що, дозволивши два типи перекриття пар плиток, ними можна замостити площину, причому тільки аперіодичним чином[4]. Зазвичай під мозаїкою розуміють заповнення без перекриття, так що плитку Гуммельт не можна вважати аперіодичною протоплиткою. Аперіодичну множину плиток на евклідовій площині, яка складається тільки з однієї плитки — плитки Соколара — Тейлор — запропонували на початку 2010-х років Джошуа Соколар і Джоан Тейлор[5]. Ця конструкція залучає правила з'єднання, правила, що обмежують відносну орієнтацію двох плиток, і правила з'єднання малюнків на плитках, і ці правила застосовуються до пар суміжних плиток. Можна використовувати плитки без малюнків і без правил орієнтації, але тоді плитки не будуть зв'язані. Побудову можна поширити на тривимірний простір з використанням зв'язувальних плиток і без правил з'єднання, але ці плитки можна викласти з періодичністю в одному напрямку, тому це лише слабко аперіодична мозаїка. Більш того, плитки не однозв'язні.

Існування строго аперіодичних множин, що складаються з однієї зв'язної плитки без правил з'єднання, залишається невирішеною проблемою.

ПриміткиРедагувати

  1. Senechal, 1996, с. 22-24.
  2. Radin, 1995, с. 3543–3548.
  3. Goodman-Strauss, 2000.
  4. Gummelt, 1996, с. 1–17.
  5. Socolar, Taylor, 2011, с. 2207-2231.

ПосиланняРедагувати