Гіпереліптична крива

В алгебричній геометрії гіпереліптична крива — алгебрична крива роду $g>1$, задана рівнянням вигляду

Рис. 1. Графік гіпереліптичної кривої $C:y^{2}=f(x)$ де $$f(x)=x^{5}-2x^{4}-7x^{3}+8x^{2}+12x=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2).$$

$$y^{2}+h(x)y=f(x)$$

де $f(x)$ — многочлен степеня $n=2g+1>4$ або $n=2g+2>4$ з $n$ різними коренями, а $h(x)$ — многочлен степеня $<g+2$ (якщо $g$ не дорівнює 2, можна прийняти $h(x)=0$).

Гіпереліптична функція — елемент функціонального поля такої кривої або многовиду Якобі на кривій; ці два поняття ідентичні для еліптичних функцій, але різні для гіпереліптичних функцій.

Рід

Степінь многочлена визначає рід кривої: многочлен степеня $2g+1$ або $2g+2$ дає криву роду $g$. Якщо степінь дорівнює $2g+1$, криву називають уявною гіпереліптичною кривою. Водночас криву степеня $2g+2$ називають дійсною гіпереліптичною кривою. Це твердження про рід залишається істинним для $g=0$ або 1, але ці особливі випадки не називають «гіпереліптичними». У випадку $g=1$ (якщо вибрати виділену точку) таку криву називають еліптичною.

Постановка та вибір моделі

Хоча ця модель є найпростішим способом опису гіпереліптичних кривих, таке рівняння матиме особливу точку на нескінченності в проєктивній площині. Ця особливість характерна для випадку $n>3$. Тому, якщо несингулярну криву визначають таким рівнянням, майже завжди мають на увазі несингулярну модель (також звану плавним завершенням), еквівалентну в сенсі біраціональної геометрії.

Точніше, рівняння визначає квадратичне розширення C(x), і мається на увазі саме це функціональне поле. Особливу точку на нескінченності можна видалити (оскільки це крива) за допомогою процесу нормалізації (інтегрального замикання). Виявляється, що після цього є відкрите покриття кривої двома афінними діаграмами: тією, яка вже задана $$y^{2}=f(x)$$ і ще однією, заданою як $$w^{2}=v^{2g+2}f(1/v).$$

Карти склеювання між двома діаграмами задаються як $$(x,y)\mapsto (1/x,y/x^{g+1})$$ і $$(v,w)\mapsto (1/v,w/v^{g+1}),$$ де б їх не було визначено.

Фактично передбачається геометричне скорочення, причому криву C визначають як розгалужене подвійне покриття проєктивної прямої, розгалуження відбувається в коренях f, а також, для непарних n, у точці на нескінченності. Таким чином, випадки $n=2g+1$ і $2g+2$ можна об'єднати, оскільки, щоб перемістити будь-яку точку розгалуження від нескінченності, можна також використати автоморфізм проєктивної площини.

Використання формули Рімана–Гурвіца

За допомогою формули Рімана — Гурвіца гіпереліптичну криву роду $g$ визначають рівнянням степеня $n=2g+2$. Припустимо, $f:X\rightarrow P^{1}$ — розгалужене покриття зі ступенем галуження 2, де $X$ — крива з родом $g$, а $P^{1}$ — сфера Рімана. Нехай $g_{1}=g$ і $g_{0}$ — рід $P^{1}(=0)$, тоді формула Рімана — Гурвіца дає

$2-2g_{1}=2(2-2g_{0})-\sum _{s\in X}(e_{s}-1)$

де $s$ є над усіма розгалуженими точками на $X$. Кількість точок галуження дорівнює n, і в кожній точці галуження $s$ маємо $e_{s}=2$, тому формула набуває вигляду

$2-2\times g=2(2-2\times 0)-n\times (2-1)$

тому $n=2g+2$.

Поява і застосування

Усі криві роду 2 є гіпереліптичними, але для роду ≥ 3 родова крива не є гіпереліптичною. Це видно евристично з перевірки розмірності простору модулів. Підраховуючи константи, при $n=2g+2$ набір з n точок, що підлягають дії автоморфізмів проєктивної прямої, має $(2g+2)-3$ ступенів вільності, що менше, ніж $3g-3$, кількість модулів кривої роду $g$, якщо $g$ не дорівнює 2. Значно більше відомо про гіпереліптичне геометричне місце точок у просторі модулів кривих або абелевих многовидів^{[прояснити: ком.]}, хоча складніше показати загальні негіпереліптичні криві за допомогою простих моделей. Однією з геометричних характеристик гіпереліптичних кривих є точки Веєрштрасса. Детальніша геометрія негіпереліптичних кривих походить із теорії канонічних кривих, канонічне відображення є 2-до-1 на гіпереліптичних кривих, але 1-до-1 в інших випадках для g > 2. Тригональні криві — це криві, які відповідають кубічному, а не квадратному кореню многочлена.

Визначення за допомогою квадратичних розширень поля раціональної функції працює для полів загалом, за винятком характеристики 2; у всіх випадках доступне геометричне визначення як розгалужене подвійне покриття проєктивної прямої, якщо припускається, що розширення є роздільним.

Гіпереліптичні криві можуть бути використані в гіпереліптичній криптографії для криптосистем, заснованих на задачі дискретного логарифмування.

Гіпереліптичні криві також складають цілі зв'язні компоненти певних шарів простору модулів абелевих диференціалів.

Гіпереліптичність кривих роду 2 використано для підтвердження гіпотези Громова про площу заповнення у випадку заповнень роду =1.

Класифікація

Гіпереліптичні криві даного роду g мають простір модулів, тісно пов'язаний із кільцем інваріантів бінарної форми степеня $2g+2$.

Історія

Вперше гіпереліптичні функції опублікував Адольф Ґьопель (1812—1847) у своїй останній статті Абелеві трансценденти першого порядку (нім. Abelsche Transcendenten erster Ordnung; Journal für die reine und angewandte Mathematik, том 35, 1847). Незалежно над цим питанням працював Йоганн Розенгайн і опублікував статтю Обернення ультраеліптичних інтегралів першого роду (нім. Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung; Mémoires des savants etc., том 11, 1851).

Див. також

• Поверхня Больци
• Супереліптична крива

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), curve Hyper-elliptic curve, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• A user's guide to the local arithmetic of hyperelliptic curves (англ.)