Дискретний логарифм

В математиці, особливо в абстрактній алгебрі і її застосуваннях, дискретний логарифм — теоретико-груповий аналог звичайного логарифма. Зокрема, звичайний логарифм log_a(b) — це розв'язок рівняння a^x = b у полі дійсних або комплексних чисел. Подібно, якщо g і h елементи зі скінченної циклічної групи G, тоді розв'язок x рівняння g^x = h зветься дискретним логарифмом h за основою g в групі G.

Приклад

Мабуть найпростіше зрозуміти дискретні логарифми в групі (Z_p)^×. Це множина {1, …, p − 1} класів конгруентності щодо множення за модулем просте p.

Якщо ми хочемо знайти k-й степінь числа з цієї групи, ми можемо зробити це знайшовши його k-й степінь і вирахувавши остачу від ділення на p. Цей процес називається дискретним піднесенням до степеня. Наприклад, розглянемо (Z₁₇)^×. щоб обчислити 3⁴ в цій групі, ми спершу обчислюємо 3⁴ = 81, і тоді ділимо 81 на 17, отримуючи в залишку 13. Отже в групі (Z₁₇)^× 3⁴ = 13 .

Дискретний логарифм — це просто обернена операція. Наприклад, візьмемо рівняння 3^k ≡ 13 (mod 17) for k. Як показано вище k=4 є розв'язком. Через те що 3¹⁶ ≡ 1 (mod 17), також випливає, що якщо n ціле, тоді 3^{4+16 n} ≡ 13 × 1ⁿ ≡ 13 (mod 17). Звідси, рівняння має нескінченно багато розв'язків у вигляді 4 + 16n. Більше того, тому що 16 є найменшим додатнім цілим m, що задовільняє 3^m ≡ 1 (mod 17), тобто 16 — це показник 3 в (Z₁₇)^×, це єдині розв'язки. Тотожно, Розв'язок можна виразити як k ≡ 4 (mod 16).

Постановка задачі

Нехай в деякій скінченній мультиплікативній абелевій групі $G$ задане рівняння

$g^{x}=a.$ (1)

Розв'язок задачі дискретного логарифмування полягає в віднайдені деякого цілого невід'ємного числа $x$, яке задовольняє рівнянню (1). Якщо воно розв'язне, в нього повинно бути хоча б один натуральний розв'язок, що не перевищує порядок групи. Це одразу грубо оцінює складність алгоритму пошуку розв'язків з гори — алгоритм повного перебору, покрокового піднесення бази до наступного степеня (англ. trial multiplication), вимагає час виконання лінійний до розміру групи $G$ і отже, показниково залежить від кількості цифр в розмірі групи. Існує дієвий квантовий алгоритм.

Найчастіше розглядається випадок, коли $G=\langle g\rangle$, тобто циклічна, породжена елементом $g$. В такому разі рівняння завжди має розв'язок. У випадку довільної групи питання розв'язності задачі дискретного логарифмування вимагає окремого розгляду.

Приклад

Найпростіше розглянути задачу дискретного логарифмування в кільці класів рівності за модулем простого числа.

Нехай дано порівняння

$3^{x}\equiv 13{\pmod {17}}.$

Будемо розв'язувати задачу методом перебору. Випишемо таблицю всіх степенів числа 3. Кожен раз ми обчислюємо остачу від ділення на 17 (наприклад, 3³≡27 — остача від ділення на 17 дорівнює 10).

31 ≡ 3	32 ≡ 9	33 ≡ 10	34 ≡ 13	35 ≡ 5	36 ≡ 15	37 ≡ 11	38 ≡ 16
39 ≡ 14	310 ≡ 8	311 ≡ 7	312 ≡ 4	313 ≡ 12	314 ≡ 2	315 ≡ 6	316 ≡ 1

Зараз легко побачити, що розв'язком порівняння є x=4, оскільки 3⁴≡13.

Зазвичай, на практиці модуль є досить великим числом, щоб метод повного перебору виявився занадто повільним, тому виникає потреба у швидших алгоритмах.

Алгоритми розв'язання

У довільній мультиплікативній групі

Розв'язності задачі дискретного логарифмування у довільній скінченній абелевій групі присвячена стаття J. Buchmann, M. J. Jacobson і E. Teske. В алгоритмі використовується таблиця, що складається з $O({\sqrt {|\langle g\rangle |}})$ пар елементів і виконується $O({\sqrt {|\langle g\rangle |}})$ множень. Цей алгоритм повільний і не придатний для практичного застосування. Для конкретних груп існують ефективніші алгоритми.

У кільці лишків за простим модулем

Розглянемо порівняння

$a^{x}\equiv b{\pmod {p}},$

(2)

де $p$ — просте, $b$ не ділиться на $p$. Якщо $a$ це твірний елемент групи $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$, то рівняння (2) має розв'язок за будь-яких $b$. Такі числа $a$ ще відомі як первісні корені, і їх кількість дорівнює $\phi (p)=p-1$, де $\phi$ — функція Ейлера. Розв'язок рівняння (2) можна знайти по формулі:

$x\equiv \sum \limits _{i=1}^{p-2}(1-a^{i})^{-1}b^{i}{\pmod {p}}.$

Однак, складність обчислення за цією формулою гірше ніж складність перебирання.

Наступний алгоритм має складність $O({\sqrt {p}}\cdot \log {p})$.

Алгоритм

1. Присвоїти $H:=\left\lfloor {\sqrt {p}}\right\rfloor +1$
2. Обчислити $c=a^{H}{\bmod {p}}$
3. Скласти таблицю значень $c^{u}{\bmod {p}}$ для $1\leq u\leq H$ і відсортувати її.
4. Скласти таблицю значень $b\cdot a^{v}{\bmod {p}}$ для $0\leq v\leq H$ і відсортувати її.
5. Знайти спільні елементи в таблицях. Для них $c^{u}\equiv b\cdot a^{v}{\pmod {p}},$ звідки $a^{Hu-v}\equiv b{\pmod {p}}.$
6. Видати $Hu-v$.

Існує також багато інших алгоритмів для розв'язання задачі дискретного логарифмування у полі лишків. Їх прийнято розділяти на експоненційні і субекспоненційні. Поліноміального алгоритму для розв'язання цієї задачі не існує.

Див. також

• Дискретне логарифмування на еліптичній кривій