Відкрити головне меню

Головне́ зна́чення інтегра́ла за Коші́ — це узагальнення поняття інтеграла Рімана, яке дозволяє обчислювати деякі розбіжні невласні інтеграли. Ідея головного значення інтеграла за Коші полягає в тому, що при наближенні інтервалів інтегрування до особливої точки з обох боків «з однаковою швидкістю» особливості нівелюють одна одну (за рахунок різних знаків ліворуч та праворуч), і в результаті можна отримати скінченну границю, яка і називається головним значенням інтегралу за Коші.

Так, наприклад, інтеграл як невласний інтеграл ІІ роду не існує, однак він існує в сенсі головного значення інтеграла за Коші.

Означення головного значення інтеграла за КошіРедагувати

Означення (для особливої точки «∞»)Редагувати

Означення (для особливої точки «∞»). Нехай f(x) визначена на (−∞, +∞) та fR([−AA]) для всіх A > 0, але невласний інтеграл І роду   є розбіжним. Якщо існує скінченна границя
 

то ця границя називається головним значенням інтеграла за Коші (або головним значенням в сенсі Коші) для функції f по проміжку (−∞, +∞) і позначається символом

 

При цьому кажуть, що функція f(x) інтегрована на (−∞, +∞) за Коші (або інтегрована на (−∞, +∞) в сенсі Коші).

Приклад. Розглянемо невласний інтеграл   Цей інтеграл є розбіжним, бо розбіжним є, наприклад, інтеграл   але існує головне значення даного інтеграла в сенсі Коші:
 
Теорема.
  • Якщо f(x) — непарна на (−∞, +∞) та fR([−AA]) для всіх A > 0, то f інтегровна на (−∞, +∞) за Коші.
  • Якщо f(x) — парна на (−∞, +∞) та fR([−AA]) для всіх A > 0, то збіжність інтеграла   еквівалентна збіжності інтеграла  

Означення (для скінченної особливої точки)Редагувати

 
Значення площ фігур ліворуч та праворуч рівні при всіх ε ∈ (0, 2), тому головне значення інтеграла за Коші дорівнює нулю
Означення (для скінченної особливої точки).Нехай функція f : [ab] → R задовольняє умовам:
  1. існує δ > 0 таке, що fR([a, c − ε]) та fR([c + ε, b]) для всіх ε ∈ (0, δ);
  2. розбіжним є невласний інтеграл другого роду  

Якщо існує скінченна границя

 

то ця границя називається головним значенням інтеграла за Коші (або головним значенням в сенсі Коші) для функції f по відрізку [ab] і позначається символом

 

При цьому кажуть, що функція f(x) інтегрована на [ab] за Коші (або інтегрована на [ab] в сенсі Коші).

Приклад. Розглянемо невласний інтеграл ІІ роду   (див. Рис.) Він є розбіжним, оскільки розбіжним є, наприклад, інтеграл   При цьому у розумінні головного значення за Коші даний інтеграл існує і дорівнює нулю:
 

Випадок декількох особливих точок на проміжку інтегруванняРедагувати

 
Сума площ фігур верхньої півплощини збігається з сумою площ фігур нижньої півплощини при всіх ε ∈ (0, 1), тому головне значення інтеграла в сенсі Коші дорівнює нулю
Приклад. Розглянемо невласний інтеграл   (див. Рис.). Особливими точками підінтегральної функції f(x) = 2x / (x²−1) є точки −1, 1 та ∞. Даний інтеграл є розбіжним, бо розбіжним є, наприклад, інтеграл
 

Очевидно, що fR([1/ε, −1−ε]) ∩ R([−1+ε, 1−ε]) ∩ R([1+ε, 1/ε]) для всіх ε ∈ (0, 1) (бо є обмеженою на кожному з цих відрізків). Перевіримо інтегровність функції f в сенсі Коші:

 

Отже, функція f є інтегровною в сенсі Коші на проміжку (−∞, +∞).

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати