Інтеграл Стілтьєса

Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана–Стілтьєса) — узагальнення визначеного інтеграла, дане в 1894 році голландським математиком Томасом Стілтьєсом.

ВизначенняРедагувати

Нехай маємо дві дійсні функції  ,    — множину розбиттів відрізка       Введемо позначення для довільних точок відрізків розбиття  ; Величиною розбиття називатимемо довжину найдовшого відрізка розбиття:

 .
Інтеграл Стілтьєса позначається так:
 
і за означенням він рівний границі:
 

У випадку, якщо    — інтеграл Стілтьєса збігається з інтегралом Рімана.

Часто вимагається також щоб g ' була функцією обмеженої варіації на проміжку  , тобто величина

 
була скінченною. Це суттєво розширює множину інтегровних функцій.

ВластивостіРедагувати

  (у випадку існування останнього інтеграла).
  •  .
  •  .
  • Якщо   тоді  .
  • Якщо   тоді  
  •  .
  •  

В усіх попередніх рівняннях   і вимагається існування інтегралів в правій частині.

  • Інтегрування частинами:
 

Застосування у теорії ймовірностейРедагувати

Якщо    — функція розподілу ймовірностей випадкової величини  , що має функцію щільності ймовірності відносно міри Лебега і    — будь-яка функція, для якої математичне сподівання   є скінченним, то густини ймовірності функція від   є похідною від  , тобто

 .

Але ця формула не буде працювати, якщо   не має функції щільності ймовірності відносно міри Лебега. Зокрема, вона не працює, якщо розподіл випадкової величини   дискретний (тобто вся ймовірність пояснюється точковими масами), а навіть, якщо функція кумулятивного розподілу   є неперервною, вона не працює, якщо   не буде абсолютно неперервною (знову ж таки, функція Кантора може слугувати прикладом цього збою). Але тотожність

 

справедлива, якщо    — будь-яка функція розподілу ймовірностей на дійсній прямій, незалежно як погано вона визначена. Зокрема, не важливо як поводить себе функція розподілу ймовірностей   випадкової величини  , якщо момент   існує, то він дорівнює

 .

УзагальненняРедагувати

Важливим узагальненням є інтеграл Лебега–Стілтьєса[en], який узагальнює інтеграл Рімана–Стілтьєса аналогічно тому, як інтеграл Лебега узагальнює інтеграл Рімана. Якщо існує невласний інтеграл Рімана–Стілтьєса, то інтеграл Лебега не є більш строго загальним, ніж інтеграл Рімана–Стілтьєса.

Інтеграл Рімана–Стілтьєса також узагальнюється на випадок, коли або підінтегральна функція  , або інтегратор   визначені в просторі Банаха. Якщо   набуває значень в просторі Банаха  , то природно припустити, що вона є функцією строго обмеженої варіації, тобто

 

супремум розглядається по всіх скінченних розбиттях

 

інтервалу  . Це узагальнення відіграє важливу роль у вивченні напівгруп[en] за допомогою перетворення Лапласа–Стілтьєса[en].

інтеграл Іто розширює інтеграл Рімана–Стілтьєса, щоб охопити підінтегральну функцію та інтегратор, що є випадковими процесами, а не простими функціями; див. також теорію випадкових процесів.

Узагальнений інтеграл Рімана–СтілтьєсаРедагувати

Невеликим узагальненням є розгляд у наведених розділах визначення розбиття  , що уточнює інше розбиття  , тобто   виникає з   шляхом додавання точок, а не розбиттів з меншим околом. Зокрема, узагальнений інтеграл Рімана–Стілтьєса функції   відносно   є число   таке, що для будь-якого   існує таке розбиття  , що для кожного розбиття  , яке покращує  ,

 

для будь-якого набору точок  . Це узагальнення проявляє властивості інтегралу Рімана–Стілтьєса як границі Мура–Сміта на спрямованій множині розбиттів інтервалу  .

Суми ДарбуРедагувати

Інтеграл Рімана–Стілтьєса може бути конструктивно введений за допомогою відповідного узагальнення сум Дарбу. Для розбиття   і неспадної функції   на   верхня сума Дарбу функції   відносно   має вигляд

 ,

а нижня

 .

Тоді узагальнений інтеграл Рімана–Стілтьєса функції   відносно   існує, тоді і лише тоді, коли для будь-якого   існує таке розбиття  , що

 

Крім того, функції   є інтегровною за Ріманом–Стілтьєсом відносно   (у класичному розумінні), якщо

 

Приклади та особливі випадкиРедагувати

Диференційовність  Редагувати

Нехай функція   є неперервно-диференційованою на  , тоді справедлива рівність

 

де інтеграл у правій частині є стандартним інтегралом Рімана, якщо вважати, що   є інтегровною за Ріманом–Стілтьєсом.

У загальному випадку, інтеграл Рімана дорівнює інтегралу Рімана–Стілтьєса, якщо функція    — інтеграл Лебега від її похідної; в цьому випадку кажуть, що   є абсолютно неперервною функцією. Можливі випадки, що функція   має точки розриву першого роду або має нульову похідну майже скрізь і при цьому є неперервною і зростаючою (наприклад   може бути функцією Кантора), тоді в будь-якому з таких випадків інтеграл Рімана–Стілтьєса не можна представити через співвідношення, що включають похідні функції  .

ВипрямлячРедагувати

Розглянемо функцію  , що використовується при вивченні нейронних мережі[en], і яку називають випрямлячем. Тоді інтеграл Рімана–Стілтьєса можна обчислити як

 

де інтеграл у правій частині  — це стандартний інтеграл Рімана.

Інтеграл РіманаРедагувати

Стандартний інтеграл Рімана  — це особливий випадок інтеграла Рімана–Стілтьєса з  .

ЛітератураРедагувати