Інтеграл Стілтьєса

Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана — Стілтьєса) — узагальнення визначеного інтеграла, дане в 1894 році голландським математиком Томасом Стілтьєсом.

Визначення

Нехай маємо дві дійсні функції $f,\,g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, $P$  — множину розбиттів відрізка $[a,b]$   $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{i}<\ldots <x_{n}=b$ Введемо позначення для довільних точок відрізків розбиття $c_{i}\in \left[x_{i},x_{i+1}\right]$; Величиною розбиття називатимемо довжину найдовшого відрізка розбиття:

$\delta (P)=\max _{x_{i}\in P}|x_{i+1}-x_{i}|$.

Інтеграл Стілтьєса позначається так:

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} g(x)$

і за означенням він рівний границі:

$\lim _{\delta (P)\rightarrow 0}\sum _{x_{i}\in P}f(c_{i})(g(x_{i+1})-g(x_{i}))$

У випадку, якщо $g(x)=x$  — інтеграл Стілтьєса збігається з інтегралом Рімана.

Часто вимагається також щоб g ' була функцією обмеженої варіації на проміжку $[a,b]$, тобто величина

$V_{a}^{b}f\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|,$

була скінченною. Це суттєво розширює множину інтегровних функцій.

Властивості

• Якщо функція g(x)  — диференційовна то має місце рівність:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dg=\int \limits _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx$ (у випадку існування останнього інтеграла).

• $\int _{a}^{b}(f_{1}+f_{2})\,dg=\int _{a}^{b}f_{1}\,dg+\int _{a}^{b}f_{2}\,dg$.
• $\int _{a}^{b}cf\,dg=c\int _{a}^{b}f\,dg$.
• Якщо $f_{1}\leq f_{2}$ тоді $\int _{a}^{b}f_{1}\,dg\leq \int _{a}^{b}f_{2}\,dg$.
• Якщо $a<c<b$ тоді $\int _{a}^{c}f\,dg+\int _{c}^{b}f\,dg=\int _{a}^{b}f\,dg$
• $\int _{a}^{b}f\,d(g_{1}+g_{2})=\int _{a}^{b}f\,dg_{1}+\int _{a}^{b}f\,dg_{2}$.
• $\int _{a}^{b}f\,d(cg)=c\int _{a}^{b}f\,dg$

В усіх попередніх рівняннях $c\in \mathbb {R}$ і вимагається існування інтегралів в правій частині.

• Інтегрування частинами:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}g(x)\,df(x).$

Застосування у теорії ймовірностей

Якщо $g$  — функція розподілу ймовірностей випадкової величини $X$, що має функцію щільності ймовірності відносно міри Лебега і $f$  — будь-яка функція, для якої математичне сподівання $E\left[|f(x)|\right]$ є скінченним, то густини ймовірності функція від $X$ є похідною від $g$, тобто

$E\left[|f(x)|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g'(x)\mathrm {d} x$.

Але ця формула не буде працювати, якщо $X$ не має функції щільності ймовірності відносно міри Лебега. Зокрема, вона не працює, якщо розподіл випадкової величини $X$ дискретний (тобто вся ймовірність пояснюється точковими масами), а навіть, якщо функція кумулятивного розподілу $g$ є неперервною, вона не працює, якщо $g$ не буде абсолютно неперервною (знову ж таки, функція Кантора може слугувати прикладом цього збою). Але тотожність

$E\left[|f(x)|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm {d} g(x)$

справедлива, якщо $g$  — будь-яка функція розподілу ймовірностей на дійсній прямій, незалежно як погано вона визначена. Зокрема, не важливо як поводить себе функція розподілу ймовірностей $g$ випадкової величини $X$, якщо момент $E(X^{n})$ існує, то він дорівнює

$E\left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\mathrm {d} g(x)$.

Узагальнення

Важливим узагальненням є інтеграл Лебега — Стілтьєса, який узагальнює інтеграл Рімана — Стілтьєса аналогічно тому, як інтеграл Лебега узагальнює інтеграл Рімана. Якщо існує невласний інтеграл Рімана — Стілтьєса, то інтеграл Лебега не є більш строго загальним, ніж інтеграл Рімана — Стілтьєса.

Інтеграл Рімана — Стілтьєса також узагальнюється на випадок, коли або підінтегральна функція $f$, або інтегратор $g$ визначені в просторі Банаха. Якщо $g\colon [a,b]\rightarrow X$ набуває значень в просторі Банаха $X$, то природно припустити, що вона є функцією строго обмеженої варіації, тобто

$\sup \sum _{i}\|g(t_{i-1})-g(t_{i})\|_{X}<\infty$

супремум розглядається по всіх скінченних розбиттях

$a=t_{0}\leq t_{1}\leq \dots \leq t_{n}=b$

інтервалу $[a,b]$. Це узагальнення відіграє важливу роль у вивченні напівгруп за допомогою перетворення Лапласа–Стілтьєса.

інтеграл Іто розширює інтеграл Рімана — Стілтьєса, щоб охопити підінтегральну функцію та інтегратор, що є випадковими процесами, а не простими функціями; див. також теорію випадкових процесів.

Узагальнений інтеграл Рімана–Стілтьєса

Невеликим узагальненням є розгляд у наведених розділах визначення розбиття $P$, що уточнює інше розбиття $P_{\varepsilon }$, тобто $P$ виникає з $P_{\varepsilon }$ шляхом додавання точок, а не розбиттів з меншим околом. Зокрема, узагальнений інтеграл Рімана — Стілтьєса функції $f$ відносно $g$ є число $A$ таке, що для будь-якого $\varepsilon >0$ існує таке розбиття $P_{\varepsilon }$, що для кожного розбиття $P$, яке покращує $P_{\varepsilon }$,

$|S(P,f,g)-A|<\varepsilon$

для будь-якого набору точок $c_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]$. Це узагальнення проявляє властивості інтегралу Рімана — Стілтьєса як границі Мура — Сміта на спрямованій множині розбиттів інтервалу $[a,b]$.

Суми Дарбу

Інтеграл Рімана — Стілтьєса може бути конструктивно введений за допомогою відповідного узагальнення сум Дарбу. Для розбиття $P$ і неспадної функції $g$ на $[a,b]$ верхня сума Дарбу функції $f$ відносно $g$ має вигляд

$U(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}[g(x_{i})-g(x_{i-1})]\sup _{x\in [x_{i-1};x_{i}]}f(x)$,

а нижня

$L(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}[g(x_{i})-g(x_{i-1})]\inf _{x\in [x_{i-1};x_{i}]}f(x)$.

Тоді узагальнений інтеграл Рімана — Стілтьєса функції $f$ відносно $g$ існує, тоді і лише тоді, коли для будь-якого $\varepsilon >0$ існує таке розбиття $P$, що

$U(P,f,g)-L(P,f,g)<\varepsilon .$

Крім того, функції $f$ є інтегровною за Ріманом — Стілтьєсом відносно $g$ (у класичному розумінні), якщо

$\lim _{{\text{діаметр}}(P)\to 0}{\big [}U(P,f,g)-L(P,f,g){\big ]}=0.$

Приклади та особливі випадки

Диференційовність $g(x)$

Нехай функція $g(x)$ є неперервно-диференційованою на ${\mathbb {R} }$, тоді справедлива рівність

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\mathrm {d} x,$

де інтеграл у правій частині є стандартним інтегралом Рімана, якщо вважати, що $f$ є інтегровною за Ріманом — Стілтьєсом.

У загальному випадку, інтеграл Рімана дорівнює інтегралу Рімана — Стілтьєса, якщо функція $g$  — інтеграл Лебега від її похідної; в цьому випадку кажуть, що $g$ є абсолютно неперервною функцією. Можливі випадки, що функція $g$ має точки розриву першого роду або має нульову похідну майже скрізь і при цьому є неперервною і зростаючою (наприклад $g$ може бути функцією Кантора), тоді в будь-якому з таких випадків інтеграл Рімана — Стілтьєса не можна представити через співвідношення, що включають похідні функції $g$.

Випрямляч

Розглянемо функцію $g(x)=\max {(0,x)}$, що використовується при вивченні нейронних мереж, і яку називають випрямлячем. Тоді інтеграл Рімана — Стілтьєса можна обчислити як

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} g(x)=\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\mathrm {d} x,$

де інтеграл у правій частині  — це стандартний інтеграл Рімана.

Інтеграл Рімана

Стандартний інтеграл Рімана  — це особливий випадок інтеграла Рімана — Стілтьєса з $g(x)=x$.

Див. також

• Інтеграл Лебега — Стілтьєса
• Теорема Ріса про інтегральне представлення
• Функція розподілу ймовірностей

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)