Вісімка (теорія вузлів)

В теорії вузлів вісімка (чотириразовий вузол або вузол Лістинга) — це єдиний вузол з числом перетинів 4. Це найменше можливе число перетинів, за винятком тривіального вузла і трилисника. Вісімка є простим вузлом. Вперше розглянутий Лістингом[ru] у 1847 році.

Вузол «Вісімка»

Походження назвиРедагувати

Назва походить від побутового вузла вісімка на мотузці, кінці якої з'єднані.

ОписРедагувати

Просте параметричне подання вузла «вісімка» задається множиною точок (x,y,z), для яких

 

де t — дійсна змінна.

Вісімка є простим, альтернованим, раціональним[en] вузлом з відповідним значенням 5/2. Він є також ахіральним вузлом. Вісімка є розшарованим[en] вузлом. Це випливає з іншого, складнішого (але цікавішого) подання вузла:

  1. Вузол є однорідною[1] замкнутою косою (а саме, замиканням коси з 3 нитками σ1σ2−1σ1σ2−1), а теорема Джона Сталлінґса[en] показує, що будь-яка однорідна коса є розшарованою.
  2. Вузол є зачепленням у точці (0,0,0,0) — ізольованій критичній точці дійсного поліноміального відображення F: R4R2 так, що (згідно з теоремою Джона Мілнора) відображення Мілнора[en] F є розшаруванням. Бернард Перон знайшов першу таку функцію F для цього вузла, а саме:
 

де

 .

Математичні властивостіРедагувати

Вузол «вісімка» грав історично важливу роль (і продовжує її грати) в теорії 3-многовидів[en] . Десь в середині 1970-х, Вільям Терстон показав, що вісімка є гіперболічним вузлом шляхом розкладання його доповнення на два ідеальних гіперболічних тетраедри (Роберт Райлі і Троельс Йорґенсен, працюючи незалежно один від одного, до цього показали, що вісімка є гіперболічної в іншому сенсі). Ця конструкція, нова на той час, привела його до багатьох сильних результатів і методів. Наприклад він зміг показати, що всі, окрім десяти, хірургій Дена[en] на вузлі «вісімка» дають нехакенові[ru], такі, що не допускають розшарування Зейферта нерозкладні[en] 3-многовиди. Це був перший з таких результатів. Багато інших було відкрито шляхом узагальнення побудови Терстона для інших вузлів і зачеплень.

Вісімка є також гіперболічним вузлом з найменшим можливим об'ємом 2,02 988…, згідно з роботою Чо Чунь (Chun Cao) і Роберта Маєрхофа (Robert Meyerhoff). З цієї точки зору вісімку можна розглядати як найпростіший гіперболічний вузол. Доповнення вісімки є подвійним накриттям многовиду Ґізекінґа[ru], який має найменший об'єм серед некомпактних гіперболічних 3-многовидів.

Вузол «вісімка» і мереживний вузол (−2,3,7)[en] є двомя гіперболічними вузлами, для яких відомо більше шести особливих хірургій, хірургій Дена, які приводять до негіперболічних 3-многовиів. Вони мають 10 і 7 відповідно. Теорема Лекенбі (Lackenby) і Маєргофа, доведення якої спирається на гіпотезу про геометризацію[en] і використання комп'ютерних обчислень, стверджує, що 10 є найбільшим можливим числом особливих хірургій для будь-яких гіперболічних вузлів. Однак досі не встановлено, чи є вісімка єдиним вузлом, на якому досягається межа 10. Добре відома гіпотеза стверджує, що нижня межа (за винятком двох згаданих вузлів) дорівнює 6.

 
Просте прямокутне зображення вузла «вісімка».
 
Симетричне зображення, отримане з параметричних рівнянь.
 
Математична поверхня, що ілюструє вузол вісімку

ІнваріантиРедагувати

Многочлен Александера[ru] вісімки дорівнює

 

многочлен Конвея[ru] дорівнює

 [2]

а многочлен Джонса дорівнює

 

Симетрія відносно   і   у многочлені Джонса свідчить про ахіральність вісімки.

ПриміткиРедагувати

  1. Коса називається однорідною, якщо будь-який генератор   або завжди додатний, або завжди від'ємний.
  2. 4_1 Knot Atlas

ЛітератураРедагувати

  • Ian Agol. Bounds on exceptional Dehn filling // Geometry & Topology. — 2000. — Т. 4. — С. 431–449. MR1799796
  • Chun Cao, Robert Meyerhoff. The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume // Inventiones Mathematicae. — 2001. — Т. 146, вип. 3. MR1869847
  • Marc Lackenby. Word hyperbolic Dehn surgery // Inventiones Mathematicae. — 2000. — Т. 140, вип. 2. — С. 243–282. MR1756996
  • The maximal number of exceptional Dehn surgeries. — arXiv:0808.1176.
  • Robion Kirby. Problems in low-dimensional topology. (див задачу 1.77, за Кемероном Гордоном[en], для окремих нахилів)
  • William Thurston. The Geometry and Topology of Three-Manifolds. — Princeton University lecture notes (1978–1981).

ПосиланняРедагувати

  • 4_1 Knot Atlas
  • Weisstein, Eric W. Figure Eight Knot (англ.) на сайті Wolfram MathWorld.