Хіральний вузол
В теорії вузлів хіральний вузол — це вузол, який не еквівалентний своєму дзеркальному відображенню. Орієнтований вузол, еквівалентний своєму дзеркальному відображенню, називається амфіхіральним вузлом або ахіральним вузлом. Хіральність вузла є інваріантом вузла. Хіральність вузлів можна далі класифікувати в залежності від того, оборотний він чи ні.
Існує лише 5 типів симетрій вузлів, які визначаються хіральністю і оборотністю — повністю хіральний, оборотний, додатно амфіхіральний незворотний, від'ємно амфіхіральний незворотний і повністю амфіхіральний оборотний[1].
Історія питання ред.
Хіральність деяких вузлів давно припускалась і доведена Максом Деном 1914 року. П. Г. Тет висловив гіпотезу, що всі амфіхіральні вузли мають парне число перетинів, але Морвен Тіслвейт[en] 1998 року знайшов контрприклад[2]. Однак гіпотеза Тета доведена для простих альтернованих вузлів[3].
| Число перетинів | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | OEIS sequence |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Хіральні вузли | 1 | 0 | 2 | 2 | 7 | 16 | 49 | 152 | 552 | 2118 | 9988 | 46698 | 253292 | 1387166 | N / A |
| Двосторонні вузли | 1 | 0 | 2 | 2 | 7 | 16 | 47 | 125 | 365 | 1015 | 3069 | 8813 | 26712 | 78717 | A051769 |
| Повністю хіральні вузли | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 27 | 187 | 1103 | 6919 | 37885 | 226580 | 1308449 | A051766 |
| Амфіхіральні вузли | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 5 | 0 | 13 | 0 | 58 | 0 | 274 | 1 | 1539 | A052401 |
| Додатно амфіхіральні вузли | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 65 | A051767 |
| Від'ємно амфіхіральні вузли | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 40 | 0 | 227 | 1 | 1361 | A051768 |
| Повністю амфіхіральніе вузли | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 4 | 0 | 7 | 0 | 17 | 0 | 41 | 0 | 113 | A052400 |
- Обидва можливих трилисники.
-
Лівий трилисник. -
Правий трилисник.
Найпростіший хіральний вузол — трилисник, хіральність якого показав Макс Ден. Всі торичні вузли хіральні. Многочлен Александера не може визначити хіральність вузла, а ось многочлен Джонса в деяких випадках може. Якщо V k (q) ≠ V k (q −1), то вузол хіральний, проте зворотне не обов'язково істинне. Многочлен HOMFLY[en] ще краще розпізнає хіральність, але поки не відомо поліноміального інваріанта вузла, який би повністю визначав хіральність[4].
Двосторонній вузол ред.
Оборотний хіральний вузол називається двостороннім. Один з прикладів двосторонніх вузлів — трилисник.
Повністю хіральний вузол ред.
Якщо вузол не еквівалентний ні своєму оберненому, ні своєму дзеркальному образу, він називається повністю хіральним; приклад — вузол 9 32[5].
Амфіхіральний вузол ред.
Амфіхіральний вузол— це вузол, який має автогомеоморфізм α 3-сфери, який обертає орієнтацію і фіксує вузол як множину.
Всі амфіхіральні альтерновані вузли мають парне число перетинів . Перший амфіхіральний вузол з непарним числом перетинів, а саме з 15 перетинами, знайшов Хосте (Hoste) та ін.[3]
Повна амфіхіральність ред.
Якщо вузол ізотопний своєму оберненому і своєму дзеркальному образу, його називають повністю амфіхіральним. Найпростішим вузлом з цією властивістю є вісімка.
Додатна амфіхіральність ред.
Якщо автогомеоморфізм α зберігає орієнтацію вузла, кажуть про додатну амфіхіральність. Це еквівалентно ізотопності вузла своєму дзеркальному відображенню. Жоден із вузлів з числом перетинів меншим від дванадцяти не є додатно амфіхіральним[5].
Від'ємна амфіхіральність ред.
Якщо автогомеоморфізм α обертає орієнтацію вузла, кажуть про від'ємну амфіхіральність. Це еквівалентно ізотопності вузла оберненому дзеркальному відображенню. Вузол з цією властивістю з найменшим числом перетинів — це 817[5].
Примітки ред.
- ↑ Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998, с. 33—48.
- ↑ Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. «History of Knot Theory and Certain Applications of Knots and Links [Архівовано 20 серпня 2011 у Wayback Machine.]», LinKnot.
- ↑ а б Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. Accessed: May 5, 2013.
- ↑ «Chirality of Knots 942 and 1071 and Chern-Simons Theory» by P. Ramadevi, T. R. Govindarajan, and R. K. Kaul. Архів оригіналу за 1 березня 2020. Процитовано 1 березня 2020.
- ↑ а б в Three Dimensional Invariants [Архівовано 17 лютого 2020 у Wayback Machine.] Knot Atlas
Література ред.
- Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. The first 1,701,936 knots // The Mathematical Intelligencer. — 1998. — Т. 20, вип. 4. — DOI:. Архівовано з джерела 15 грудня 2013.