Гіпотези Тета

Гіпотези Тета — це три гіпотези, висловлені математиком 19-ого століття Пітером Гатрі Тетом під час вивчення вузлів. Гіпотези Тета оперують концепціями з теорії вузлів, такими як альтерновані вузли, хіральність і число закрученості. Всі гіпотези Тета доведено, останньою була гіпотеза про перевертання.

Передумови

Скорочена діаграма — це така, в якій вилучено всі перешийки.

Тет прийшов до своїх гіпотез у кінці XIX століття після спроб звести в таблицю всі вузли. Як у засновника теорії вузлів, його робота не мала суворого математичного обґрунтування, і не зовсім зрозуміло, поширював він свої гіпотези на всі вузли, чи тільки на альтерновані. Виявилося, що більшість із них правильні тільки для альтернованих вузлів. У гіпотезах Тета діаграма вузла називається «скороченою», якщо всі «перешийки» або «тривіальні перехрещення» вилучено.

Число перетинів альтернованих вузлів

Тет припустив, що за деяких обставин число перетинів є інваріантом вузла, зокрема:

Будь-яка скорочена діаграма альтернованого зачеплення має найменшу можливу кількість перетинів

Іншими словами, число перетинів скороченого альтернованого зачеплення є інваріантом вузла. Цю гіпотезу довели Луїс Кауфман, Куніо Мурасугі (村杉邦男) і Морвен Б. Тістлетвейт у 1987 за допомогою многочлена Джонса. Геометричне доведення, що не використовує многочленів вузла, дав 2017 року Джошуа Грін (Joshua Greene).

Число закрученості й хіральність

Друга гіпотеза Тета:

Амфіхіральне (або ахіральне) альтерноване зачеплення має нульове число закрученості.

Цю гіпотезу також довели Кауфман і Тістлетвейт.

Перевертання

Перевертання

Гіпотезу Тета про перевертання можна сформулювати так:

Якщо дано дві скорочені альтерновані діаграми $D_{1}$ і $D_{2}$ орієнтованого простого альтернованого зачеплення, просте альтерноване зачеплення $D_{1}$ можна перетворити на $D_{2}$ шляхом послідовності деякого виду операцій, які називаються перевертанням

Гіпотезу Тета про перевертання довели Тістлетвейт і Вільям Менаско 1991 року. З гіпотези Тета про перевертання випливає кілька інших гіпотез Тета:

Будь-які дві скорочені діаграми одного альтернованого вузла мають однакове число закрученості.

Це випливає з того, що перевертання зберігає число закрученості. Цей факт довели раніше Мурасугі і Тістлетвейт. Це також випливає з роботи Гріна. Для неальтернованих вузлів ця гіпотеза не правильна і пара Перко є контрприкладом. З цього результату випливає така гіпотеза:

Альтерновані амфіхіральні вузли мають парне число перетинів.

Це випливає з того, що дзеркальний вузол має протилежне число закрученості. Ця гіпотеза знову правильна тільки для альтернованих вузлів — існує неальтернований амфіхіральний вузол з числом перетинів 15.

Див. також

• Простий вузол

Література

• Raymond W. B. R. An introduction to knot theory. — Т. 175. — ISBN 978-0-387-98254-0. — DOI:10.1007/978-1-4612-0691-0.
• Louis Kauffman. State models and the Jones polynomial // Topology. — 1987. — Т. 26, вип. 3. — DOI:10.1016/0040-9383(87)90009-7.
• Kunio Murasugi. Jones polynomials and classical conjectures in knot theory // Topology. — 1987. — Т. 26, вип. 2. — DOI:10.1016/0040-9383(87)90058-9.
• Morwen Thistlethwaite. A spanning tree expansion of the Jones polynomial // Topology. — 1987. — Т. 26, вип. 3. — DOI:10.1016/0040-9383(87)90003-6.
• Joshua Greene. Alternating links and definite surfaces // Duke Mathematical Journal. — 2017. — Т. 166, вип. 11. — arXiv:1511.06329. — Bibcode: 2015arXiv151106329G. — DOI:10.1215/00127094-2017-0004.
• William Menasco, Morwen Thistlethwaite. The Classification of Alternating Links // Annals of Mathematics. — 1993. — Т. 138, вип. 1. — DOI:10.2307/2946636. — JSTOR 2946636.
• Kunio Murasugi. Jones polynomials and classical conjectures in knot theory. II // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1987. — Т. 102, вип. 2. — Bibcode: 1987MPCPS.102..317M. — DOI:10.1017/S0305004100067335.
• Morwen Thistlethwaite. Kauffman's polynomial and alternating links // Topology. — 1988. — Т. 27, вип. 3. — DOI:10.1016/0040-9383(88)90012-2.
• Alexander Stoimenow. Tait's conjectures and odd amphicheiral knots // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). — 2008. — Т. 45, № 2.