Гіпотези Тета
Гіпотези Тета — це три гіпотези, висловлені математиком 19-ого століття Пітером Гатрі Тетом під час вивчення вузлів[en][1]. Гіпотези Тета оперують концепціями з теорії вузлів, такими як альтерновані вузли, хіральність і число закрученості. Всі гіпотези Тета доведено, останньою була гіпотеза про перевертання.
Передумови
ред.Тет прийшов до своїх гіпотез у кінці XIX століття після спроб звести в таблицю[en] всі вузли. Як у засновника теорії вузлів, його робота не мала суворого математичного обґрунтування, і не зовсім зрозуміло, поширював він свої гіпотези на всі вузли, чи тільки на альтерновані. Виявилося, що більшість із них правильні тільки для альтернованих вузлів[2]. У гіпотезах Тета діаграма вузла називається «скороченою», якщо всі «перешийки» або «тривіальні перехрещення» вилучено.
Число перетинів альтернованих вузлів
ред.Тет припустив, що за деяких обставин число перетинів є інваріантом вузла, зокрема:
Будь-яка скорочена діаграма альтернованого зачеплення має найменшу можливу кількість перетинів
Іншими словами, число перетинів скороченого альтернованого зачеплення є інваріантом вузла. Цю гіпотезу довели Луїс Кауфман, Куніо Мурасугі (村杉邦男) і Морвен Б. Тістлетвейт у 1987 за допомогою многочлена Джонса[3][4][5]. Геометричне доведення, що не використовує многочленів вузла, дав 2017 року Джошуа Грін (Joshua Greene)[6].
Число закрученості й хіральність
ред.Друга гіпотеза Тета:
Амфіхіральне (або ахіральне) альтерноване зачеплення має нульове число закрученості.
Перевертання
ред.Гіпотезу Тета про перевертання можна сформулювати так:
Якщо дано дві скорочені альтерновані діаграми і орієнтованого простого альтернованого зачеплення, просте альтерноване зачеплення можна перетворити на шляхом послідовності деякого виду операцій, які називаються перевертанням[8]
Гіпотезу Тета про перевертання довели Тістлетвейт і Вільям Менаско 1991 року[9]. З гіпотези Тета про перевертання випливає кілька інших гіпотез Тета:
Будь-які дві скорочені діаграми одного альтернованого вузла мають однакове число закрученості.
Це випливає з того, що перевертання зберігає число закрученості. Цей факт довели раніше Мурасугі і Тістлетвейт[10][7]. Це також випливає з роботи Гріна[6]. Для неальтернованих вузлів ця гіпотеза не правильна і пара Перко є контрприкладом[2]. З цього результату випливає така гіпотеза:
Альтерновані амфіхіральні вузли мають парне число перетинів[2].
Це випливає з того, що дзеркальний вузол має протилежне число закрученості. Ця гіпотеза знову правильна тільки для альтернованих вузлів — існує неальтернований амфіхіральний вузол з числом перетинів 15[11].
Див. також
ред.Примітки
ред.- ↑ Lickorish, 1997, с. 47.
- ↑ а б в Stoimenow, 2008, с. 285–291.
- ↑ а б Kauffman, 1987, с. 395–407.
- ↑ Murasugi, 1987, с. 187–194.
- ↑ Thistlethwaite, 1987, с. 297–309.
- ↑ а б Greene, 2017, с. 2133–2151.
- ↑ а б Thistlethwaite, 1988, с. 311–318.
- ↑ Weisstein, Eric W. Tait's Knot Conjectures(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- ↑ Menasco, Thistlethwaite, 1993, с. 113–171.
- ↑ Murasugi, 1987, с. 317–318.
- ↑ Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Література
ред.- Raymond W. B. R. An introduction to knot theory. — Т. 175. — ISBN 978-0-387-98254-0. — DOI:
- Louis Kauffman. State models and the Jones polynomial // Topology. — 1987. — Т. 26, вип. 3. — DOI:10.1016/0040-9383(87)90009-7.
- Kunio Murasugi. Jones polynomials and classical conjectures in knot theory // Topology. — 1987. — Т. 26, вип. 2. — DOI:10.1016/0040-9383(87)90058-9.
- Morwen Thistlethwaite. A spanning tree expansion of the Jones polynomial // Topology. — 1987. — Т. 26, вип. 3. — DOI:10.1016/0040-9383(87)90003-6.
- Joshua Greene. Alternating links and definite surfaces // Duke Mathematical Journal. — 2017. — Т. 166, вип. 11. — arXiv:1511.06329. — Bibcode: 2015arXiv151106329G. — DOI:10.1215/00127094-2017-0004.
- William Menasco, Morwen Thistlethwaite. The Classification of Alternating Links // Annals of Mathematics. — 1993. — Т. 138, вип. 1. — DOI:10.2307/2946636. — JSTOR 2946636.
- Kunio Murasugi. Jones polynomials and classical conjectures in knot theory. II // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1987. — Т. 102, вип. 2. — Bibcode: 1987MPCPS.102..317M. — DOI:10.1017/S0305004100067335.
- Morwen Thistlethwaite. Kauffman's polynomial and alternating links // Topology. — 1988. — Т. 27, вип. 3. — DOI:10.1016/0040-9383(88)90012-2.
- Alexander Stoimenow. Tait's conjectures and odd amphicheiral knots // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). — 2008. — Т. 45, № 2.