Ізотопія

Ізото́пія — це така гомотопія $f_{t}:X\to Y,t\in [0,1]$ , в якій за будь-якого $t$ відображення $f_{t}$ є гомеоморфізмом $X$ на $f(X)\subset Y$.

Пов'язані означення

• Накривною або обсяжною ізотопією для ізотопії $f_{t}:X\to Y$ називається ізотопія простору $F_{t}:Y\to Y$ така, що $F_{t}|_{X}\equiv f_{t}$.
• Два вкладення $f_{0},f_{1}:X\to Y$ называються ізотопними, якщо існує накривна ізотопія $F_{t}:Y\to Y$, для якої $F_{0}=id,F_{1}(f_{0}(X))=f_{1}(X)$.
• Простори $X$ і $Y$ називають ізотопічно еквівалентними або просторами одного й того ж ізотопічного типу, якщо існують вкладення $f:X\to Y,\ g:Y\to X$ такі, що композиції $g\circ f:X\to X$ и $f\circ g:Y\to Y$ ізотопні тотожним відображенням.
  • Якщо простори гомеоморфні, то вони ізотопічно еквівалентні, проте є негомеоморфні простори одного ізотопічного типу, наприклад, $n$-вимірна куля і така ж куля з приклеєним до її поверхні (одним своїм кінцем) відрізком.
  • Будь-який гомотопічний інваріант є ізотопічним інваріантом, але існують ізотопічні інваріанти, наприклад, розмірність, які не є гомотопічними.

Властивості

• Гладка ізотопія завжди подовжується до гладкої накривної ізотопії.
• Існують дифеоморфізми сфери $S^{n}$ на себе, неізотопні тотожному, цей факт пов'язаний з існуванням нетривіальних диференціальних структур на сферах розмірності $n+1$.

Джерела

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Isotopy (in topology), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4