q-аналог
Q-аналог теореми, тотожності або виразу — це узагальнення, що залучає новий параметр q, який повертає початкову теорему, тотожність або вираз у границі при q → 1. Зазвичай математики цікавляться q-аналогами, які з'являються природним чином, а не вигадують довільні q-аналоги для відомих результатів. Найранішим q-аналогом є базисні гіпергеометричні ряди[en], які вивчалися в XIX столітті[1].
Q-аналоги найчастіше використовують у комбінаториці і в теорії спеціальних функцій. У цих умовах границя q → 1 часто формальна, оскільки q часто дискретне (наприклад, воно може представляти степінь простого числа). Q-аналоги знаходять застосування в багатьох галузях, зокрема під час вивчення фракталів і мультифрактальних мір і для вираження ентропії хаотичних динамічних систем. Зв'язок із фракталами і динамічними системами виникає з факту, що багато фрактальних об'єктів мають симетрії фуксових груп загалом (див., наприклад, статті «Indra's pearls»[en] і «Сітка Аполлонія») і модулярної групи зокрема. Зв'язок проходить через гіперболічну геометрію і ергодичну теорію, де еліптичні інтеграли і модулярні форми відіграють головну роль. Самі q-ряди тісно пов'язані з еліптичними інтегралами.
Q-аналоги з'являються під час вивчення квантових груп і в q-збурених супералгебрах[en]. Зв'язок тут подібний до того, як теорія струн будується на мові ріманових поверхонь, що приводить до зв'язку з еліптичними кривими, які, в свою чергу, пов'язані з q-рядами.
«Класична» q-теорія
ред.Класична q-теорія починається з q-аналогів для невід'ємних цілих чисел[2]. Рівність
передбачає, що ми визначаємо q-аналог числа n, відомий як q-дужка або q-число числа n, рівним
![{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54905ab6a45450b4e798ef991a9f7c6cd65711db)
Вибір серед інших можливостей конкретно цього q-аналог не має певної причини, однак аналог виникає природним чином у декількох контекстах. Наприклад, якщо вирішуємо використовувати позначення [n]q для q-аналога числа n, можна визначити q-аналог факторіала, відомий як q-факторіал, у такий спосіб
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9aca08867b8fd46c5c717a2a8aca39c294faf0)
Цей q-аналог з'являється природним чином у декількох контекстах. Що примітно, тоді як n! підраховує число перестановок довжини n, [n]q! підраховує перестановки з урахуванням числа інверсій. Тобто, якщо inv (w) означає число інверсій перестановки w, а Sn — множина перестановок довжини n, маємо
![{\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fdbf42b3988d54e8a3997462fbf86ee1efc88fa)
Зокрема, можна отримати звичний факторіал переходом до границі .
Q-факторіал має також коротке визначення в термінах q-символу Похгаммера, базового будівельного блоку всіх q-теорій:
![{\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6a1e12939e2d9c21567ce00527543674ba70d6)
Від q-факторіалов можна перейти до q-біноміальних коефіцієнтів, відомих також як гаусові коефіцієнти, гаусові многочлени або гаусові біноміальні коефіцієнти:
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2d350cdfdff22544fac702c5d397578cde0d44)
![{\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5943d719a2f4615fdd2a4a3da4cbd362260756)
Тригонометричні q-функції, разом з q-перетворенням Фур'є визначають у цьому ж контексті.
Q-аналоги в комбінаториці
ред.Гаусові коефіцієнти підраховують підпростори скінченного векторного простору. Нехай q — число елементів скінченного поля. (Число q тоді дорівнює степеню простого числа, q = pe так що використання літери q доцільне.) Тоді число k-вимірних підпросторів n-вимірного векторного простору над полем з q елементами дорівнює
При прямуванні q до 1 отримуємо біноміальний коефіцієнт
або, іншими словами, число k-елементних підмножин множини з n елементів.
Таким чином, можна розглядати скінченний векторний простір як q-узагальнення множини, а підпростори — як q-узагальнення підмножин цієї множини. Це плідна точка зору для пошуку цікавих теорем. Наприклад, є q-аналог теореми Шпернера[en] і теорії Рамсея.
q → 1
ред.На противагу дозволу змінювати q і розгляду q-аналогів як відхилень можна розглядати комбінаторний випадок q = 1 як границю q-аналогів q → 1 (часто неможливо просто підставити q = 1 у формулу, тому доводиться брати границю).
Це можна формалізувати в поле з одним елементом[en], де комбінаторика подається як лінійна алгебра над полем з одним елементом. Наприклад, групи Вейля є просто алгебричними групами над полем з одним елементом.
Застосування у фізиці
ред.Q-аналоги часто виявляються в точних розв'язках задач багатьох тіл. У таких випадках границя при q → 1 відповідає відносно простій динаміці, тобто без нелінійних збурень, тоді як q < 1 дає можливість розглянути складний нелінійний режим зі зворотним зв'язком.
Прикладом з атомної фізики є модель створення молекулярного конденсату з ультрахолодного ферміонного газу в умовах вимітання зовнішнього магнітного поля за допомогою резонансу Фешбаха[3]. Цей процес описується моделлю з q-збуреною версією алгебри операторів SU(2) і розв'язок описується q-збуреними показниковими і біноміальними розподілами.
Див. також
ред.Примітки
ред.- ↑ Exton, 1983.
- ↑ Ernst, 2003, с. 487–525.
- ↑ Sun, Sinitsyn, 2016, с. 033808.
Література
ред.- Exton H. q-Hypergeometric Functions and Applications. — New York : Halstead Press, 1983. — ISBN 0853124914.
- Thomas Ernst. A Method for q-calculus // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 2003. — Т. 10, вип. 4 (4 листопада). — С. 487–525. Архівовано з джерела 28 березня 2012. Процитовано 2011-07-27.
- Sun C., Sinitsyn N. A. Landau-Zener extension of the Tavis-Cummings model: Structure of the solution // Phys. Rev. A. — 2016. — Т. 94, вип. 3 (4 листопада). — Bibcode:. — DOI:.
Посилання
ред.- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Umbral calculus, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Weisstein, Eric W. q-аналог(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. q-дужка(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. q-факторіал(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. q-біноміальний коефіцієнт(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.