Степінь простого числа

В математиці степінь простого числа — це просте число, піднесене до цілого додатного степеня.

Приклади

Числа $5=5^{1}$, $9=3^{2}$ і $16=2^{4}$ є степенями простих чисел, тоді як $6=2\times 3$, $15=3\times 5$ і $36=6^{2}=2^{2}\times 3^{2}$ ні.

Двадцять найменших степенів простих чисел:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, …

Властивості

Алгебраїчні властивості

• Кожен степінь простого числа ділиться тільки на одне просте число.
• Щільність розподілу степенів простих чисел асимптотично еквівалентна $\pi (x)$ — щільності простих чисел з точністю до $O({\sqrt {x}})$.
• Будь-який степінь простого числа (за винятком степеня 2) має первісний корінь. Так, мультиплікативна група цілих чисел за модулем $p^{n}$ (або, що еквівалентно, група одиниць кільця Z/ $p^{n}$Z) є циклічною.
• Число елементів скінченного поля завжди є степенем простого числа і навпаки, будь-який степінь простого числа є числом елементів деякого скінченного поля (єдиного з точністю до ізоморфізму).

Комбінаторні властивості

Властивість степеня простого числа, що часто використовується в аналітичній теорії чисел, — множина степенів простих чисел, що не є простими, є малою в тому сенсі, що нескінченна сума обернених до них величин збіжна, хоча множина простих чисел є великою множиною.

Властивості подільності

Функція Ейлера ($\phi$) і сигма-функції ($\sigma _{0}$) і ($\sigma _{1}$) від степеня простого числа можна обчислити за формулами:

$\phi (p^{n})=p^{n-1}\phi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),$

$\sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0*j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,$

$\sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1*j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.$

Всі степені простих чисел є недостатніми числами. Степінь простого $p^{n}$ є n-майже простим. Невідомо, чи можуть степені простих чисел $p^{n}$ бути дружніми числами. Якщо такі числа існують, то $p^{n}$ повинно бути понад ${10}^{1500}$ і n повинен бути понад 1400.

Див. також

• Досконалий степінь
• Майже просте число
• Напівпросте число
• Поле Галуа

Література

• Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag. Elementary Number Theory. — London : Limited, 1998.